Yleistä Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen

Matematiikan yo-ohjeita. Yleisohjeita  Laskimet ja taulukot on tuotava tarkastettaviksi vähintään vuorokautta (24h) ennen kirjoituspäivää kansliaan.
Funktiot sini, kosini ja tangentti
Komponenttien rakenteellinen tärkeys
Lineaarisia malleja.
Integraalilaskenta MA 10
Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12
Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa.
Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle
MAT Insinöörimatematiikka A 4 Luennot periodilla 4 keväällä 2006
MAB8: Matemaattisia malleja III
Rajoitetut jonot 1. Alhaalta rajoitettu jono
Matematiikan yo-ohjeita. Yleisohjeita Laskimet ja taulukot on tuotava tarkastettaviksi vähintään vuorokautta (24h) ennen kirjoituspäivää kansliaan. Laskimien.
LOGARITMI Eksponenttiyhtälön 10x = a ratkaisua sanotaan luvun a logaritmiksi Merkintä x = lga Huom. vain positiivisilla luvuilla on logaritmi.
TMA.003 / L3 ( )1 3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio Olkoon A ja B ei-tyhjiä joukkoja. Tulojoukon A  B = {(x,y) | x  A, y  B} osajoukko on.
3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio
1.2. Perusyhteydet ja –kaavat Suplementtikulmat x ja  - x
1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA
1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot
Matematiikan yo-ohjeita Yleisohjeita  Laskimet ja taulukot tuotava tarkastettaviksi vähintään vuorokautta ennen kirjoituspäivää kansliaan.  Laskimien.
UMF I Luento 2. Aika Luennot, Klo 14–16 to 4.9 – ke 10.9 ke 24.9 – ke 1.10 ke – pe Demot, Klo 10–12/12–14/14–16 Pe 12.9, Ti 16.9, Pe 19.9.
UMF I Luento 1. Aika Luennot, Klo 14–16 to 4.9 – ke 10.9 ke 24.9 – ke 1.10 ke – pe Demot, Klo 10–12/12–14/14–16 Pe 12.9, Ti 16.9, Pe 19.9.
Havainnollisuus matematiikan opetuksessa käsitekartat Luennot klo
TÄRPPEJÄ – YO 2010 PITKÄ MATEMATIIKKA.
LINEAARINEN MUUTOS JA KULMAKERROIN
Pienin ja suurin arvo suljetulla välillä
2.4. Raja-arvo äärettömyydessä ja raja-arvo ääretön E.1.
Funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot
Jatkuvan funktion nollakohdat
Ketjusääntö Ketjusääntö z = g (y) y = f (x) x z x+x y y+y z+z
Yhtälön ja epäyhtälön korottaminen neliöön Olkoon a, b  0. Tällöin a = b  a 2 = b 2, a < b  a 2 < b 2.
Neliöjuurifunktion derivaatta (todistus: ks. kirja, s. 39)
Analyysi II Katsaus.
UMF I Luento 7. Viime kerralta Lue II.5 ja II.6. Lause II.5.1 tapauksessa f(x,y) = (x, sin(y)) ja g(x, y) = (cos(x), y). Voit lähettää epäselvistä kohdista.
1. Usean muuttujan funktiot
Diskreetti matematiikka
Todennäköisyyslaskenta
PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)
1.4. Integroimismenetelmiä
1. INTEGRAALIFUNKTIO.
Kymmenkantainen logaritmi
Suoran yhtälön muodostaminen
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Stabiilit monistot ja kriisit Mat
Virtuaalinen analyysin peruskurssi
4.1. Funktion ääriarvot Funktion kasvu ja väheneminen
Monotoniset jonot Jono (a n ) on kasvava, jos  n : a n+1  a n aidosti kasvava, jos  n : a n+1 > a n aidosti vähenevä, jos  n : a n+1 < a n vähenevä,
Virtuaalinen analyysin peruskurssi
Juurifunktio potenssifunktion käänteisfunktiona
UMF I Luento 3. Maanantaiksi Lue kappaleet I.3 ja I.4 Laske funktion x + y 2 osittaisderivaatat määritelmän II.1.1 nojalla Anna esimerkki funktiosta f.
2. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Pinta-alan käsite Kirja, sivut
F jatkuva välillä [a,b] y = f(x), suorat x = a ja x = b rajoittavat alueen + x – akseli Pyörähdys x-akselin ympäri Suora ympyrälieriö, jolla äärettömän.
5. Fourier’n sarjat T
Paraabelin huippu Paraabelin huippu
Suora Suorien leikkauspiste Yhtälöparin ratkaisu
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) (x) = g(f(x))
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Jaksolliset radat ja rajajoukot.
3.3. Käyrän tangentti ja normaali
Neperin luku e ja funktio y = ex
Funktion jatkuva kohdassa x = x0 joss
Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta
Koska toispuoliset raja-arvot yhtä suuria, niin lim f(x) = 1
2. Lukujonot -äärellinen tai ääretön 2.1. Lukujonon käsiteLuettelona: a 1, a 2, a 3,…,a n,…, jolloin a n on jonon n:s termi Lukujonon merkintätapoja Jono.
MAB3 suorat.
TANGENTTI Suora, joka sivuaa käyrää.
Mitä osattava (minimivaatimus)?. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen –Huom! Määrittelyehdot Peruslaskutoimitukset –polynomien erityisesti binomin.
Kertymäfunktio Määritelmä Olkoon funktio f jatkuva ja x > a
Kirjoita tähän Kirjoita tähän Kirjoita tähän Kirjoita tähän Kirjoita tähän Kirjoita tähän Kirjoita tähän.
Suoran yhtälön muodostaminen, kun suoralta tunnetaan 2 pistettä
Toispuoleinen raja-arvot
Kertausta FUNKTIOISTA MAB5-kurssin jälkeen (Beta 2.0)