Aikasarja-analyysin perusteet Janne Kunnas 5.10.2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Sisältö Taloudellisten aikasarjojen empiirinen analyysi Tyypilliset ominaisuudet Aikasarja-analyysin perusteet Peruskäsitteet ARMA-mallit Tarkastelu aika-avaruudessa Aikasarjojen tilastollinen tarkastelu Ennustaminen Kotitehtävä

Tyypilliset ominaisuudet (1/3) Pätevät päivittäiselle finanssidatalle Osakkeet, indeksit, valuutat, raaka-aineet Pätevät usein myös pidemmän aikavälin datalle Viikoittaiset ja kuukausittaiset tuotot Pätevät usein myös intra-daily datalle

Tyypilliset ominaisuudet (2/3) Tuotot eivät ole iid vaan hieman autokorreloituneita Absoluuttiset tai neliölliset tuotot ovat selvästi autokorreloituneita Tappioiden ehdolliset odotusarvot ovat lähellä nollaa Volatiliteetti ei ole vakio Tappiojakauma on leptokurtinen tai paksuhäntäinen Äärimmäiset tuotot esiintyvät rykelminä Volaklusterit: ekstreemitappiot(voitot) seuraavat toinen toisiaan, mutta eivät välttämättä saman merkkisinä Pidemmän aikavälin datalla klusteri häviää ja paksuhäntäisyys pienenee

Tyypilliset ominaisuudet (3/3) -SP500 logaritmiset voitot vuosilta 1998-2003 -Ei autokorrelaatiota vasemmalla korrelaatiodiagrammissa, mutta oikealla absoluuttisessa datassa kyllä -Ekoilla lageilla suurempi arvo, peräkkäiset päivät jossain määrin korreloituneita

Monimuuttujien Tyypilliset ominaisuudet Monimuuttujien tuotot hieman ristikorreloituneita Absoluuttiset tuotot selvästi ristikorreloituneita Aikasarjojen korrelaatiot vaihtelevat ajassa Äärimmäiset tuotot ilmenevät usein monissa aikasarjoissa samaan aikaan Liittyy edellisen ykköseen Liittyy edellisen kakkoseen Liittyy edellisen neloseen eli vola vaihtelee -> korrelaatiot vaihtelee Korrelaatiot kasvavat kun vola kasvaa

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Momentit Keskiarvofunktio Autokovarianssifunktio

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Kovarianssi-stationaarisuus Aikasarja on kovarianssi-stationaarinen (heikosti stationaarinen), jos sen ensimmäiset kaksi momenttia ovat olemassa ja sille pätee

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Vahva stationaarisuus Jos satunnaisvektoreilla ja on sama yhteisjakauma, niin aikasarja on vahvasti stationaarinen. -Vahva stationaaroisuus yhdessä äärellisen varianssi kanssa implikoi heikon stationaarisuuden -Voidaan määritellä ääretön varianssisia ARCH ja GARCH prosesseja jotka on vahvasti stationaarisia

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Autokorrelaatiofunktio Autokorrelaatiofunktio kovarianssi-stationääriselle prosessille määritellään seuraavasti missä ja Autokorrelaatiofunktiota käytetään kun tarkastellaan aikasarjoja ajassa

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Valkoinen kohina Aikasarja on valkoista kohinaa jos se on kovarianssi-stationaarinen ja sen autokorrelaatiofunktio on Valkoista kohinaa merkitään Kovarianssi-stationaariset ARCH ja GARCH prosessit ovat valkoista kohinaa. ja sen odotusarvo on nolla sekä varianssi

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Vahva valkoinen kohina (strict white noise) Aikasarja on vahvaa valkoista kohinaa jos sarja on iid ja sen varianssi on Vahvaa valkoista kohinaa merkitään

ARMA-mallit Aikasarja on nolla-keskiarvoinen ARMA(p,q) prosessi jos se on kovarianssi-stationaarinen ja se toteuttaa yhtälön missä Käytännön sovelluksissa käytetään kausaalista ARMA-mallia missä painot toteuttavat yhtälön -ARMA-prosessit ovat kovarianssi-stationaarisia -Alin on vaan tekninen vaatimus jolla varmistetaan että Xt:n odotusarvo pysyy äärellisenä

ARMA-mallit ARMA(1,1) joka on voidaan esittää MA(∞) –muodossa (myös kausaalinen muoto) Ja AR(∞)) -muodossa ARMA-malli voidaan kirjoittaa myös muodossa 4.11 ehto on ”kausaalisuuden ehto” 4.12 ehto on ”kääntyvyyden ehto” 4.13 käytetään kun odotusarvo on nollasta poikkeava ja kyseessä on kääntyvä ARMA-prosessi

Tarkastelu aika-avaruudessa Tarkastellaan aikasarjaa estimoimalla sen autokovarianssit ja autokorrelaatiot Autokovarianssit saadaan yhtälöstä Korrelaatiodiagrammia käytetään aikasarjan systemaattisten riippuvuuksien tutkimisessa Lisäksi voidaan käyttää Portmanteau testiä ja testata onko prosessi valkoista kohinaa

Aikasarjojen tilastollinen tarkastelu Alustavan tarkastelun tarkoituksena on selvittää löytyykö datasta trendejä tai jaksollisuutta ja poistaa ne, jotta sitä voidaan käsitellä stationaarisena Seuraavaksi tarkastellaan satunnaisprosessia aika-avaruudessa piirtämällä korrelaatiodiagrammit ja testaamalla onko prosessi valkoista kohinaa Jos prosessi on valkoista kohinaa voidaan siirtyä yksinkertaisen jakauman parametrien sovittamiseen Jos prosessi ei ole valkoista kohinaa, siirrytään dynaamisiin malleihin Akaike kriteria parhaan mallin löytämiseksi, tai Tsay&Tiaon automaattinen mallin valinta metodi

Ennustaminen ARMA-malli Eksponentiaalinen tasoitus

Kotitehtävä Todista, että MA(1) –prosessi on stationaarinen Millä ehdolla AR(1) –prosessi on stationaarinen Sovita osakedataan studentin t –jakauma, generoi saaduilla parametreilla yhtä pitkä vektori, plottaa molemmista logaritmiset tuotot sekä korrelaatiodiagrammit tappiolle ja absoluuttisille arvoille Tulkitse