KULMAN PUOLITTAJA Kulman puolittaja on kulmaan kärjestä alkava puolisuora, joka jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi. k a/2 k Uraehto: Kulman puolittaja on niiden pisteiden muodostama ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman kyljistä. a/2 Huomaa että kulmanpuolittaja tai sen jatke jakaa annetun kulman tai sen eksplementtikulman kahteen yhtä suureen osaan. C Lause 1 Jokainen kulmanpuolittajan piste on samalla etäisyydellä kulman kyljistä tai niiden jatkeesta. P Oletus: Olkoon P mielivaltainen kulman ABC puolittajan piste. B Väitös: Etäisyys pisteestä P molemmille kulman kyljille on sama eli PC = PA. Todistus: Todistamme kolmiot ABP ja CPB yhteneviksi. A sivu PB on kolmioille yhteinen molemmissa kolmioissa on suora kulma (etäisyys mitataan kohtisuoraan). B-kärjen kulmat ovat alkuperäisen puolikkaita ja siten keskenään yhtä suuria. KKS:n mukaan kolmiot ovat yhtenevät ja vastinosina PC = PA. Erikoistapauksia: M.O.T. psallinen
Lause 2 Jokainen tason piste, joka yhtä etäällä molemmista kulman C Lause 2 Jokainen tason piste, joka yhtä etäällä molemmista kulman kyljistä tai niiden jatkeista, on kulman puolittajan piste. P B Oletus: Kulma ABC sekä piste P, joka on yhtä etäällä kulman kyljistä. Väitös: P on kulman puolittajan piste. Todistus: Yhdistetään piste P ja kulman kärkipiste B. Saamme kaksi kolmiota ABP ja CPB, jotka ovat yhteneviä (SSK) koska: A Sivu AP = sivu CP oletuksen mukaan. Sivu BP on kolmioille yhteinen ja siten molemmilla yhtä suuri. Kulma BCP ja kulma BAP on molemmilla kolmioilla suora. Vastinosina ovat kulmat CBP ja ABP yhtä suuria eli piste P on kulmanpuolittajalla. Erikoistapauksia: 1) Kulma on 180 astetta. 2) Kulma on väillä 180 – 360 astetta. Annetun kulman puolittaminen geometrisesti ( harpilla ja viivaimella): 1) Piirretään kulman kärki B keskipisteenä ympyräviiva, joka leikkaa kylkiä kohdissa A ja C. C 2) Piirretään leikkauspisteet A ja C keskipisteinä saman säteiset ympyrät jotka leikkaavat toisiaan pisteessä P. B 3) Yhdistetään kulman kärki ja piste P. P 4) Kolmiot CPB ja ABP ovat yhteneviä ( SSS ) ja vastinosina A kulman B kärjen osat ovat yhtä suuria keskenään ja BP puolittaa kulman. psallinen