AS-84.161 Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 8 AS-84.161 Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Ackermannin algoritmi Sumea säätö

Tilasäätö u Prosessi x K Prosessia säädetään tilojen mukaan Suljetun järjestelmän siirtofunktion navat asetellaan haluttuihin paikkoihin Prosessi u x K

Ackermannin algoritmi Olkoon järjestelmä Oletetaan, että rajoittamaton ohjaus K = [k1 k2 ... kn] tilatakaisinkytkentämatriisi Suljetun järjestelmän tilayhtälö (A – BK) ominaisarvot ovat suljetun järjestelmän napoja b1, b2, ..., bn

Ackermannin algoritmi Jotta suljetun järjestelmän navat voitaisiin asetella haluttuihin paikkoihin, tulee järjestelmän olla säädettävä. Jotta järjestelmä olisi säädettävä, täytyy säädettävyysmatriisilla Qc=[B | AB | ... | An-1B] olla täysi rangi Jos Qc on neliömatriisi, niin det(Qc) ≠ 0

Ackermannin algoritmi Suljetun järjestelmän karakteristinen yhtälö det(zI – A + BK) = 0 Käyttämällä tilatakaisinkytkentää halutaan sijoittaa suljetun järjestelmän navat paikkoihin z = b1, z = b2, ..., z = bn Järjestelmän karakteristisen yhtälön halutaan siis olevan r(z) = (z – b1)(z – b2)...(z – bn) = zn – a1zn-1 – a2zn-2 – ... an-1z – an = 0

Ackermannin algoritmi - Esimerkki Olkoon järjestelmä annettu kanonisessa muodossa Halutaan ominaisarvoiksi z=b1, z=b2, z=b3  Karakteristinen polynomi r(z) = (z–b1)(z–b2)(z–b3) = z3–a1z2–a2z–a3 = 0

Ackermannin algoritmi - Esimerkki Kun K = [k1 k2 k3], niin suljetun järjestelmän karakteristiseksi polynomiksi saadaan det(zI–A+BK) = z3–(a1–k1)z2–(a2–k2)z–(a3–k3) = 0 Verrataan haluttuun karakteristiseen polynomiin r(z) = z3–a1z2–a2z–a3 = 0 Saadaan k1 = –a1 + a1 k2 = –a2 + a2 k3 = –a3 + a3 Eli K = a - a

Ackermannin muoto K:lle K voidaan laskea myös suoran esityksen kautta käyttäen ns. Ackermannin muotoa: K = [0 ... 1][B | AB | ... | An-1B]-1rc(A) rc(A) on halutun suljetun järjestelmän karakteristisen polynomin arvo, kun muuttujana on matriisi A. Esim. jos rc(z) = z2 + z + 3, on rc(A) = AA + A + 3I, missä AA on tavallinen matriisikertolasku ja I on yksikkömatriisi

Ackermannin muoto, useita ohjauksia Jos u:ssa on useita eri ohjauksia (u pystyvektori n x 1 ja B m x n matriisi) ja järjestelmä (A, B) on säädettävä, on yleensä olemassa vektori p, siten että matriisi B voidaan korvata vektorilla b = Bp niin, että järjestelmä säilyy säädettävänä. Järjestelmän ohjaus voidaan nyt toteuttaa 1-dimensioisella ohjauksella u’(k).

Ackermannin algoritmi - yhteenveto Onko järjestelmä säädettävä? rank(Ex) = n? , n = Ex:n rivien määrä (Qc = Ex) Neliömatriisilla rank(Ex) = n, kun det(Ex) ≠ 0 Ex = [ B | AB | ... | An-1B ] Suljetun järjestelmän karakteristinen yhtälö rc(z) = (z – b1)(z – b2)...(z – bn) Jos u on vektori, valitaan jokin p Bu  bu, missä b = Bp Huom, myös Ex muuttuu! K = [0 ... 1] Ex-1 rc(A)

Sumea säätö Sumeassa logiikassa binääriset joukot korvataan sumeilla joukoilla Alkiot voivat saada muitakin arvoja kuin 0 tai 1 Kielelliset muuttujat kuvaavat joukkoja Pieni / Keskikokoinen / Suuri Hidas / Keskinkertainen / Nopea Jäsenyysfunktiot kuvaavat suureiden kuulumista näihin joukkoihin Sääntökanta kuvaa joukkojen keskinäisiä suhteita

Sumea säätö Sääntö- kanta Sumeu- tus Päätöksen- tekologiikka jäsenyys-funktio esim. painopiste Sumeu- tus Päätöksen- tekologiikka Selkey- tys Pro- sessi Pro- sessi sumea mittaus sumea ohjaus täsmällinen mittaus täsmällinen ohjaus

Sumea säätö Sumeutus A B Suureen kuuluminen kuhunkin joukkoon Jäsenyysfunktiot kuuluminen joukkoon A A kuuluminen joukkoon B B

Sumea säätö Päätöksenteko Säännöt määrittävät joukkojen väliset suhteet Säännöissä käytetään loogisten operaatioiden laajennuksia Esimerkiksi AND-operaatio korvataan usein valitsemalla kahdesta luvusta pienempi Operaatioiden tulokset esitetään sumeilla luvuilla

Sumea säätö C D Esim. sääntö: 0.3 IF (x = A) AND (y = B) THEN (u = C) x:n jäsenyys A-joukossa on 0.3 ja y:n jäsenyys B-joukossa 0.5 Sumean operaation tulokseksi tulee MIN (0.3 , 0.5) = 0.3  u = 0.3 u = C kertoo, että u kuvataan sumealla luvulla C: C D 0.3

Sumea säätö C D Kaikki sumeat luvut maalataan samaan koordinaatistoon. Vaikka samoja alueita maalataan useampaan kertaan, niiden painoarvo ei muutu C D

Sumea säätö Selkeytys Muutetaan jollain operaatiolla sumeat luvut täsmälliseksi luvuksi Esimerkiksi painopisteen laskenta 1.3

Sumea säätö Sumeutus Päätöksenteko Selkeytys Jäsenyysfunktiot  suureen kuuluminen joukkoihin Päätöksenteko Sumeat operaatiot joukoille Maalataan sumeasta luvusta tuloksen alapuolelle jäävä alue Kaikki tulokset samaan kuvaan Selkeytys Operaatio, jolla maalatut alueet muutetaan täsmälliseksi luvuksi