Langattomien laitteiden matematiikka 1 4. Z-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1

4.1 Yleistä z-muunnoksesta z-muunnos on diskreetin Fourier-muunnoksen (käs. myöh.) tapaan jonon muunnos. Se on on tärkeä apuväline digitaalitekniikassa erilaisten suotimien teoreettisessa tarkastelussa. Jono kuvataan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 z-muunnoksella pystytään Laplace- muunnoksen tapaan analysoimaan systeemin ominaisuuksia. z-muunnos on itse asiassa kompleksi-muuttujan potenssisarja, ns. Laurent-sarja. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Aiemmin olleen yleisen sarjateorian perusteella tiedetään, että potenssisarja ei välttämättä suppene kaikkialla, vaan tietyllä rajatulla alueella, jota sanottiin suppenemisalueeksi. Sama ominaisuus pätee myös z-muun-nokselle. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Lähes kaikki reaalisia potenssisarjoja koskevat tulokset ovat voimassa myös kompleksitermisille sarjoille! Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 4.2 Määritelmä Olkoon x : Z  K diskreetti funktio eli lukujono. Sanotaan, että jono x = x (n) = x[n] on kausaalinen, jos x (n) = 0, kun n < 0. Määritellään seuraavaksi yksipuolinen ja kaksipuolinen z-muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Diskreetin funktion x yksi- ja kaksipuolinen z - muunnos määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 1. Määritä pulssin x(-2) = x(2) = 1, x(-1) = x(1) = 2, x(0) =3, x(n) = 0 yksi- ja kaksipuolinen z-muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Yksipuolista z-muunnosta voidaan pitää Laplace-muunnoksen diskreettinä vastineena. Laplace-muunnoksen avulla voidaan ratkaista integraali-ja differentiaaliyhtälöitä ja z-muunnoksella differenssiyhtälöitä. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Huom.1. Mikäli jono on kausaalinen, niin yksi-ja kaksipuolinen muunnos ovat samat. Yleisessä tapauksessa ei näin ole. Huom.2. Jos ei toisin mainita, niin z - muunnoksella tarkoitetaan muunnosta (z1). Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Huom.3. Kausaalisuus voidaan ilmaista myös toteamalla, että jonot ovat muotoa u(n) x(n) missä u(n) on yksikköaskelfunktio. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 2. Määritetään yksikköaskelfunktion z-muunnos. Esimerkki 3. Eksponentiaalisen jonon z-muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 4. Määritä funktion x(n) = an u(n) cos( n) z- muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1

4.3 Z-muunnoksen ominaisuudet Lineaarisuus 1) Z (f + g) = Z (f ) + Z(g) 2) Z (kf ) = k Z(f ) Huomataan, että ylläolevat ominaisuudet ovat summien ja integraalien käsittelystä tuttuja. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Siirtolauseet Aikaistus (i > 0) Seuraavat erikoistapaukset helpottavat ymmärtämistä: Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Viive Vaimennus Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 4.4 Käänteismuunnos Itse asiassa z-muunnoksen käänteismuunnos on kompleksinen viivaintegraali. Sen johtaminen vaatii melko syvällisiä tietoja residylaskennasta, jota insinöörin ei tässä vaiheessa tarvitse tietää. Seuraavassa esitetään vain merkintä ja eräitä epäsuoria keinoja käänteismuunnoksen määrittämiseksi. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Merkintä: Z -1{X (z)} = x (n) Esitetään kaksi erilaista menettelytapaa: osamurtomenetelmä ja potenssi-sarjakehitelmä. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Osamurtomenetelmä Esimerkki 5. Määritetään käänteismuuntamalla alkuperäinen jono muunnoksesta Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 6. Määritetään muunnoksen X (z) käänteismuunnos, kun Langattomien laitteiden matematiikka 1

Potenssisarjamenetelmä Sarjateoriaa voidaan hyödyntää myös käänteismuunnoksen määrittämisessä. Esimerkki 7. Määritetään se kausaalinen jono, jonka z - muunnos on Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Etsitty jono saadaan siis sarjan kertoimista. Potenssisarjamenetelmän etuna on se, että muunnoksen ei välttämättä tarvitse olla rationaalifunktio. Langattomien laitteiden matematiikka 1

4.5 Differenssiyhtälöt ja z-muunnos Differenssiyhtälöt ovat differentiaali-yhtälöiden diskreetti vastine. Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti li-neaarisiin vakiokertoimisiin differens-siyhtälöihin. Differenssiyhtälöitä käytetään digitaalisten systeemien mallintamisessa. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 22.35 oppikirja. Esimerkki 22.36 oppikirja. Seuraavassa asiaa tarkastellaan laajemmin esimerkkien avulla sovellusnäkökulmasta. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 8. Tarkastellaan erästä suodatinta. Systeemin differenssiyhtälö on y(k ) - y(k - 1) = x(k) Määritä systeemin vaste y(k), kun heräte on x(k) = u(k) ja jonot ovat kausaalisia. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 9. Olettaen jonot kausaalisiksi, määritä differenssiyhtälön 2y(k + 2) + 10y(k + 1) + y(k) = 3 ratkaisuista se, joka toteuttaa alkuehdot y(0) = 1 ja y(1)= -1. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 10. Olkoon seuraavaa diskreettiä lineaarista systeemiä kuvaava differenssiyhtälö Määritä systeemin siirtofunktio. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 11. Tarkastellaan FIR-suodinta, jota voidaan kuvata differenssiyhtälöllä y[n] = 6x[n] - 5x[n - 1]+x[n - 2]. Määritä systeemin siirtofunktio sekä nollat ja navat. Langattomien laitteiden matematiikka 1