Viikko 2: Approksimaatiota ja suuruusluokka-arvioita

Matemaatiset approksimaatiot Taylorin sarja (1+x)-1/2 ≈ 1 –(x/2) + (1*3/2*4)x2 –(1*3*5)/(2*4*6)x3 … Jos x=0.1 ja otetaan vain ensimmäinen termi (1+0.1)-1/2 ≈ 1-(0.1/2) = 0.95 Tarkka arvo 0.9534 eli virhe < 0.4%

Matemaatiset approksimaatiot (2) Stirlingin kaava: Likiarvo 10! ≈ 3 597 783 n=10 tarkasti 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3 628 800 Ero ≈ 0.8%

Integraalin approximointi Laatikkoapproksimaatio: Korkeus 1 yksikkö, leveys 2 yksikköä = 2 Tarkka arvo √π ≈ 1.77 (virhe 12%)

Heiluri Fysikaalinen approksimaatio: Langan massaa ja pallon ilmanvastusta ei huomioida Matemaattinen approksimaatio: Sin α≈α kun α pieni α

Muita approksimaatioita Maapallo on pyöreä van der Waals: atomit kokoonpuristumattomia palloja Ohm: sähkövirta on jatkuvaa I = U/R Hooke: aine venyy elastisesti F = kx Newton: jäähtymislaki dT/dt ≈ B (T-T0)

Suuruusluokat Kun ollaan kiinnostuneita suuruusluokista, virhe tekijällä 5 on oikea vastaus, ja virhe tekijällä 2 on erinomainen vastaus. Kuinka monta lintua Suomessa on rengastettu 1913 lähtien ? Paljonko Helsingin kaikki puut maksavat yhteensä ? Paljonko öljyä on vielä pumppaamatta? Mikä on ihmissilmän dynaaminen alue ? Paljonko rintasyövän varhaisempi toteaminen säästäisi ? Paljonko korroosio aiheuttaa taloudellista vahinkoa ?

Biologia Ihmisen perimä on 3*109 emäsparia 1 nm emäksen koko 1 nm * 3*109 paria = 3 metriä ”DNA sylinterin” tilavuus V = Ah = πr2*h = 3.14*(10-9)2*3 m3 = 9*10-18 m3, solun tuman tilavuus; Pallomaisuusoletus V= 4/3 *3.14*r3 antaa tuman säteeksi ≈ 1 µm (r) Tuma oletetaan 10% solusta (pituudesta)  Solun säde r=10 µm Solun tilavuus V= 4/3 *3.14*r3 = 4*10-15 m3

Ihmisen tilavuus V= 0.1 m3  0.1 m3/4*10-15 m3 = 2.5 *1013 solua Some sources told us that the average adult human body is made up of "50 million million" (50 trillion) cells, while others put the figure closer to 10 trillion. Science NetLinks, a resource for science teachers, stated that there are approximately "ten to the 14th power" (that's 100 trillion) cells in the human body. http://ask.yahoo.com/20020625.html

USAn vankiloiden kustannukset 2 miljoonaa vankia Verrataan hotelliasumiseen ja ravintolassa syömiseen: 100$/yö + 3*10 $ ateriat = 130 $/vrk 48 000 $/vuosi/vanki 96 miljardia

USAn vankiloiden kustannukset (2) Suomalaisessa päivähoidossa 72 €/lapsi/pv 16 000 €/vuosi (11 kk, 20 pv/kk) Mutta vankilassa 24/7/365 4*16 000 ≈64 000 /vanki * 2 000 000 127 miljardia Kustannukset ovat 80 miljardia dollaria.

Kiina-Suomi laivarahdin osuus lenkkitossun hinnassa Kontti = 8*8*20 jalkaa ≈ 2.4*2.4*6 m3 ≈ 35 m3 Iso konttilaiva, 200 metriä pitkä. Montako konttia ? 20*7*(200/6)*2 ≈10 000 konttia Kenkälaatikko 30*20*15 cm 4000 lenkkarit/kontti 40 M lenkkarit/laiva

Laivan kustannukset Ostohinta: Työvoimakustannukset: 1 M€ 10 M€ 20 miestä, 2000 €/kk  0.5 M€/vuosi

Moottorin kulutus Auton moottorin kulutus: Moottori: 5 l/100 km = 5 l/tunti Laivan moottori käy vuodessa 365*24*0.8 tuntia = 7000 tuntia. Laivamoottorilla sama kulutus kilowattia kohti. 5*300*7000 litraa/vuosi 10 miljoonaa litraa 1 €/litra = 10 M€/vuosi Moottori: 100* auton moottori 1000 * auton moottori 10 000 * auton moottori Emme osaa sanoa onko 100X vai 1000X parempi, otamme geometrisen keskiarvon: gka = (100*1000)1/2 ≈ 300

10 vuoden saldo Lenkkitossujen määrä: 100 M€ laivan hinta 5 M€ palkat Kiina-Suomi 20 päivää  73 matkaa (koska 20% ajasta satamassa) 10 000 konttia *4000 lenkkarit*73 matkaa = 3 miljardi lenkkarilaatikkoa 100 M€ laivan hinta 5 M€ palkat 100 M€ diesel 205 M€ kulut Kulut/lenkkarit: 7 senttiä

Vuoren korkeus Oletetaan että vuoren pohjimmainen graniitti sulaa yllä olevan massan (potentiaalienergian) vuoksi: mgh = mHominaissulamislämpö h = Hsulamis /g = 2.4*105 J/kg : 10 N/kg = 24 000 m Tämä on suuruusluokka-arvio, eli kun virhe Everestiin on 3X, tämä on aivan mainio tulos !

Vuoren korkeus (2) Graniitin puristuslujuus on laboratoriossa mitattavissa oleva suure: 2*108 N/m2 Tätä suurempi paine saa graniitin murenemaan/valumaan p = ρgh h = p/ ρg h = 2*108 N/m2 /(3000 kg/m3 * 10 m/s2) h = 6700 m

Vuoren korkeus (3) Onko meillä vertailukohtia ? Kuun korkein vuori ? Marsin korkein vuori ? Marsin g= 3.7 m/s2 Marsin korkein vuori olisi 18 km Olympus Mons on 25 km korkea !

ABCD: Partureita Suomessa 2.7 miljoonaa miestä 6 kertaa vuodessa parturissa 16 miljoonaa parturikäyntiä * 30 € tukanleikkuun hinta  500 M€ rahaa parturiin Parturin vuositulot (palkka + vuokrat + muut ) ≈ 50 000 €  10 000 parturia

ABCD: Molekyylien koko renkaan eliniästä Kuinka monta kilometriä autonrenkaan elinikä ? Montako pyörähdystä ? Kulutusuran syvyys alussa-lopussa ? Oletus: 1 molekyyli/pyörähdys poistuu

Tehtävät ryhmille: 1. Kuinka monta ihmistä on lentämässä tällä hetkellä ? 2. Kuinka monta ihmistä eläimet työllistävät Suomessa ? 3. Kuinka paljon Suomessa heitetään ruokaa roskiin ? 4. Golden Gate sillan 50-vuotisjuhlissa silta suljettiin autoilta ja ihmiset täyttivät sillan. Vertaa autojen ja ihmisten aiheuttamaa kuormaa sillalle !

Kotitehtävät Paavi Johannes Paavali II vieraili kotikaupungissaan Krakovassa vuonna 2002. Väitetään että 4 miljoonaa ihmistä tuli ulkoilmamessuun. Kuinka isosta alueesta oli kysymys ? Kuinka monta Bajamajaa tarvittiin ? Laske muutamia itsevalitsemiasi tunnuslukuja ! Kuinka paljon maksaa Taiwanista tuotavan läppärin lentorahti ? Poikakoulun alimman portaan reuna on sadan vuoden aikana kulunut 5 mm. Minkä kokoisia atomit ovat ? Taxi-Mersu vs. Taxi-Avensis: jos Mersu maksaa 55 000 € ja Avensis 25 000€, kuinka paljon enemmän rahaa jää kuukaudessa käteen Avensis-taxille. ? Autoveroa ei oteta mukaan laskelmaan. Mikä on Kuolontähden massa ? Vertaa maailman teräksen tuotantoon !