Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi tarkastellaan aikaväliä (0,t) joka jaetaan erillisiin t:n pituisiin osaväleihin hetkellä t = 0 otetaan käyttöön n identtistä laitetta olkoon i:nnellä osavälillä vikaantuneiden laitteiden lukumäärä n(i) olkoon Tji laitteen j toiminta-aika osavälillä i: 1 1 1 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi missä m(i) = välin i alussa toimivien laitteiden lukumäärä 1 1 2 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Empiirinen kylpyammekäyrä 1 1 3 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tulkinta vs. elinajantiheysfunktion tulkinta 1 1 4 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure) MTTF = vikaantumisajan odotusarvo koska f(t) = -R’(t) 1 1 5 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure) MTTF voidaan johtaa myös Laplace-muunnoksen avulla lähestymistapa hyödyllinen esim Markov-malleista johdettujen vikaantumisaikajakaumien tapauksessa 1 1 6 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Keskimääräinen vikojen välinen aika, MTBF (mean time between failures) laitteen toimintahostoria koostuu peräkkäisistä toiminta-ajoista (T) ja korjausajoista (Tr) MTBF = vikojen välisen ajan odotusarvo = vikaantumisajan odotusarvo + korjausajan odotusarvo, edellyttäen, että peräkkäiset vikaantumisajat (ja korjausajat) ovat riippumattomia, samalla tavatalla jakautuneita satunnaismuuttujia MTTR = mean time to repair 1 1 7 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Laitteen keskimääräinen vikaantumiskäyttäytyminen 1 1 8 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit POISSON-prosessi Poisson-prosessilla on yhteys vikaantumismalleihin Poisson-prosessiin (tai minkä tahansa piste- tai laskuriprosessin) intensiteeteillä on tulkinta luotettavuusteoriassa ja -tekniikassa tietyin edellytyksin Poisson-prosessi on vikaantumisten lukumäärän malli nyt tarkastellaan homogeenista Poisson-prosessia monesti myös ns. epähomogeenisilla Poisson-prosesseilla on käyttöä luotettavuusmallina 1 1 9 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi OLETUKSET Vikaantumistapahtuma A voi esiintyä millä hetkellä tahansa, ja todennäköisyys, että A esiintyy aikavälillä (t, t+dt) ei riipu t:stä on missä0 ja funktiolle o( ) pätee: 1 1 10 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi OLETUKSET Todennäköisyys, että aikavälillä (t, t + dt] esiintyy enemmän kuin yksi tapahtuma on o(dt). jos mitkä tahansa aikavälit (t11, t12], (t21, t22], … ovat erillisiä, niin tapahtumat ”A esiintyy aikavälillä (tj1, tj2]”, j = 1, 2,…. ovat riippumattomia 1 1 11 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi merkitään N(t):llä aikavälillä (0,t) esiintyneiden tapahtumien lukumäärää ja olkoon nyt pätee: eli 1 1 2 12

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi on luonnollista asettaa: 1 1 13 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi ensimmäisen tapahtuman esiintymishetken, T1, jakauma T1 on siis eksponentiaalisesti jakautunut satunnaismuuttuja 1 1 14 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi p(n,t)? 1 1 15 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi rekursio Eli Poissonin jakauma 1 1 16 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi k:nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, jakauma tiheysfunktio saadaan derivoimalla: 1 1 17 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi k:nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, tiheysfunktio saadaan derivoimalla kysymys on gammajakaumasta 1 1 18 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Eksponentiaalijakauma 1 1 19 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Eksponentiaalijakauma Eksponentiaalijakauma on muistiton: 1 1 20 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Weibulljakauma 1 1 21 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Gammajakauma malli: laitteeseen kohdistuu shokkeja joiden välinen aika on ekponentiaalisesti jakautunut parametrilla  laite vikaantuu, kun siihen kohdistuu k:s shokki 1 1 22 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Gammajakauma 1 1 23 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Gammajakauma yleistys 1 1 24 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia muita jakaumia lognormaalijakauma (ln(T) ~ N(2)) Pareto-jakauma inverse-gaussian äärimmäisten arvojen jakaumat Gumbel-jakaumat erilaiset stokastisten prosessien perusteella johdetut jakaumat (rajajakaumana yleensä joku normaalijakauman versio) jne. 1 1 25 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu IFR (increasing failure rate) ja DFR (decreasing failure rate) MÄÄRITELMÄ: Jakauma on IFR (DFR) jos -ln(1-F(t)) on konveksi (konkaavi) välillä 0<t<F-1(t) Huom! jos jakauma on jatkuva niin IFR (DFR) vastaa hazardifunktion kasvavuutta (vähenevyyttä) 1 1 26 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu IFRA (increasing failure rate average) ja DFRA (decreasing failure rate average) MÄÄRITELMÄ: Jakauma F on IFRA (DFRA) jos on kasvava (vähenevä) kun t IFRA (DFRA) on heikompi ominbaisuus kuin IFR (DFR) 1 1 27 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu NBU (new better that used) ja NWU (new worse that used) tarkastellaan jäljella olevan elinajan jakaumaa: MÄÄRITELMÄ Jakauma F on NBU (NWU) jos 1 1 28 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu NBUE (new better that used in expectation) ja NWUE (new worse that used in expectation) MÄÄRITELMÄ Jakauma F on NBUE jos 1. F:llä on äärellinen odotusarvo  2. on voimassa, että: 1 1 29 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu MÄÄRITELMÄ Jakauma F on NWUE jos 1. F:llä on äärellinen odotusarvo  2. on voimassa, että: 1 1 30 2

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu IFR => IFRA => NBU => NBUE DFR => DFRA => NWU => NWUE tietynlaiset järjestelmärakenteet säilyttävät jotkut em. ominaisuuksista 1 1 31 2