MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Uusiutumisprosessit •joskus voi olla tarpeen tarkastella järjestelmiä, joiden komponenttien elin- ja korjausaikajakaumat eivät ole eksponentiaalisia –vanhenevat järjestelmät –ennakoiva kunnossapito –jne. •uusiutumisprosessit sopiva työkalu tällaisten järjestelmien tarkasteluun

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Uusiutumisprosessit YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI •peräkkäiset, iid jakautuneet elinajat T 1, T 2, T 3,…, yhteinen jakauma P(T i <t) =F T (t) •korjausajat merkityksettömiä” •kiinnostavia muuttujia ovat esim.

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Uusiutumisprosessit YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI •pätee:. S r :n jakauma:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Uusiutumisprosessit YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI •selvästikin S r :n jakauma on konvoluutio:. •jos jakaumalla on tiheysfunktio, niin: •Laplace-muunnoksien avulla:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI •N(t):n jakauma:. •uusiutumisfunktio:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI •uusiutumisyhtälö (engl. fundamental renewal equation)

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI •uusiutumisyhtälö voidaan johtaa myös ehdollistamalla ensimmäisen uusiutumishetken suhteen: eli

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI •uusiutumistiheydelle vastaava yhhtälö )saadaan derivoimalla uusiutumisyhtälöä) •Laplace-muunnettu versio:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI •joitakin tuloksia •uusiutumisteoreema (engl. elementary renewal theorem) •Blackwellin teoreema •keskeinen uusiutumisteoreema (engl. key renewal theorem)

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI •tarkastellaan komponenttia, jonka historia koostuu perätäisistä elin- ja korjausajoista

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI •perättäiset elin- ja korjausajat muodostavat uusiutumisprosessin, jossa uusiutumis välit ovat •vastaava uusiutumisväin jakauma on ko. satunnaismuuttujien jakaumien konvoluutio

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI •käytettävyyden lauseke; ehdollistetaan ensimmäiselle uusiutumisvälille, Y=T 1 +D 1 : toisaalta: siis:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI koska edellä D 1 >0: siis

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI käytettävyyden lauseke voidaan johtaa helpomminkin: •laite on käytettävä hetkellä t kahdella toisensa poissulkevalla tavalla: •E 1 : se ei ole vikaantunuut kertaakaan hetkeen t mennessä •E 2 : se vikaantuu ennen hetkeä ja korjaus valmistuu hetkellä x; sen jälkeen laite käytettävä ajan (t-x) kuluttua

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI käytettävyyden L-muunnos helposti laskettavissa:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI rajaepäkäytettävyys: