3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = ex
Neperin luku e ja sen määritelmä Eksponenttifunktio f(x) = kx ex on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f ´(0) = 1 e 2,718281828 (laskimella) Eksponenttifunktion f(x) = ex ominaisuuksia Mf = R Af = ]0,[ Funktio on jatkuva kaikkialla Funktio on aidosti kasvava Asymptoottina negatiivinen x – akseli Potenssien laskusäännöt säilyy eu = ev u = v y = ex (ks. kirja s. 54 - 55)
E.1. Sievennä e2xe-x = e2x – x = ex b) e3(ex+1)2 = e3e2x+2 = e3+2x+2 = e2x + 5 E.2. Ratkaise yhtälö ex+2 = e-x x + 2 = -x 2x = -2 x = -1 b) e3x – 6 = 1 e3x -6 = e0 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 2
3.2.2. Funktion y = ex derivaatta D(ex) = ex Funktio y = ex on oman itsensä derivaatta: käyrän mielivaltaisen pisteen kautta kulkevan tangentin kulmakerroin on sama kuin pisteen y-koordinaatti.
E.3. Derivoi a) f(x) = 2ex + 3x b) f(x) = (ex + 1)2 b) f’(x) = 2ex(ex + 1)
Olkoon f derivoituva funktio. D(ef(x)) = ef(x) · f ´(x) E.4. Derivoi a) f(x) = e2x d) f(x) = e2x ·x3 a) f‘ (x) = 2e2x b) f‘(x) = 2e2x· x3 +e2x ·3x2 = x2e2x(2x + 3)
Derivaatan arvon laskeminen Derivoi ja sijoita sen lausekkeeseen haluttu kohta E.5. Laske f ´(1), kun f(x) = e2x - x3 f’(x) = 2e2x – 3x2 f’(1) = 2e2 - 3 Tangentin kulmakertoimen laskeminen, kT = f ´(x0) E.6. Mikä on käyrän y = e1-x kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin? f ’ (x) = –e1-x f ’ (1) = -e1-1 = -e0 = -1
E.7. Määritä a ja b, kun f(x) = eax + b sekä f(0) = 2 ja f ´(0) = 3 f(0) = e0 + b = b + 1 b +1 = 2 b = 1 f’(x) = aeax ae0 = 3 a = 3
E.8. Määritä funktion derivaatan nollakohdat, f(x) = e4x + e-4x 4x = -4x 8x = 0 x = 0
Kirjan esimerkki 3, sivu 57 Mitä arvoja f(x) = 2x + e-2x saa? Funktio on jva ja dva kaikkialla Derivaatan nollakohdat: f ’ (x) = 2 – 2e-2x = 2(1 – e-2x) f ’ (x) = 0: 1 – e-2x = 0 e-2x = 1 e-2x = e0 -2x = 0 x = 0 Kulkukaavio: f’(-1) = 2(1-e2) -12,8 < 0 f’(1) = 2(1-e-2) 1,7 > 0 f ’ f - + min Pienin arvo: Kulkukaavion perusteella f(0) = 1 Suurin arvo: Koska lim f(x) = , niin funktiolla x -> ei ole suurinta arvoa, vaan funktio saavuttaa mielivaltaisen suuria arvoja. V: Funktio f saavuttaa kaikki ne arvot, jotka ovat 1