1. INTEGRAALIFUNKTIO
1.1.1. INTEGRAALIFUNKTIO F(x) on funktion f(x) integraalifunktio jollakin välillä ]a,b[, jos " x Î ]a,b[ pätee F´(x) = f(x) (Tutkiminen: F´(x) = f(x) (kaikilla määrittelyjoukon x:illä)) E.1. a) Onko funktio F(x) = x2 + 4 funktion f(x) = 2x integraalifunktio? On, sillä F’(x) = D(x2 + 4) = 2x = f(x) x R b) Onko funktio F(x) = xex funktion f(x) = (x + 1)ex integraalifunktio? On, sillä F’(x) = D(xex) = 1·ex + xex = (1 + x) ex = f(x)
E.2. Minkä funktion integraalifunktio on F(x) = x2 · cos x ? f(x) = F’(x) = D (x2 · cos x) = 2x cosx + x2 (-sinx) = x(2cosx – xsinx)
1.1.2. Annetun funktion integraalifunktiot Kaikki integraalifunktiot, jos yksi tunnetaan Jos funktion f(x) yksi integraalifunktio on F(x), niin kaikki integraalifunktiot löytyvät funktioparvesta F(x) + C (C = vakio)
E.4. Määritä se funktion f(x) = 1 - 2x integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (3,4) kautta. F(x) = x – x2 + C = -x2 + x + C F(3) = 4: -32 + 3 + C = 4 C = 4 – 3 + 9 C = 10 F(x) = -x2 + x + 10
E.5. Määritä se funktion f(x) = 2x + 4 integraalifunktio, jonka pienin arvo on 3. F(x) = x2 +4x + C Ääriarvo, F’(x) = 0: F’(x) = f(x) = 2x + 4 2x + 4 = 0 x = -2 F(-2) = 3: (-2)2 + 4·(-2) + C = 3 C = 7 F(x) = x2 +4x + 7
Merkintä f(x)dx = F(x) + C (Lue: Integraali fxdx) E.6. Integroi a) (2x + 4)dx b) cosxdx = x2 + 4x + C = sinx + C
E.7 a) (x + 2t) dx = x2 + 2tx + C b) (x + 2t) dt = xt + t2 + C Huomaa integroimismuuttuja