Todennäköisyyslaskenta 5. Todennäköisyysjakaumia T055403

5.1 Yleistä Satunnaismuuttuja x on diskreetti, jos se voi saada vain tiettyjä erillisiä arvoja x1, x2, … ,xn, joita vastaavat tietyt pistetodennäköisyydet p1, p2, … ,pn. T055403

Satunnaismuuttuja x on jatkuva, mikäli sen arvojoukko on reaalilu-kujen joukko R tai sen jokin osavä-li. Muuttujan tyypin mukaan puhutaan joko diskreetistä tai jatkuvasta jakaumasta. T055403

5.2 Diskreetti jakauma Esimerkki 1. 100 kuusilapsista perhettä osallistui tutkimukseen, jossa tutkittiin per-heen tyttöjen määrää. Saatiin seu-raavanlainen empiirinen tutkimus-tulos: T055403

x f pk = f / n 3 0,03 1 10 0,10 2 20 0,20 37 0,37 4 25 0,25 5 0,05 6 yht 100 T055403

Esitä empiirinen jakauma pylväsdia-grammina Esitä empiirinen jakauma pylväsdia-grammina. Laske teoreettinen ja-kauma ja esitä sekin pylväsdia-grammien avulla. Vertaa jakaumia toisiinsa. T055403

T055403

T055403

Teoreettinen jakauma on ns. binomijakauma. Merkitään x  Bin (n, p).

Odotusarvo ja keskihajonta Diskreetin satunnaismuuttujan x odotusarvo eli keskiarvo saadaan laskettua, kun tunnetaan satun-naismuuttujan arvot ja niitä vastaa-vat pistetodennäköisyydet: T055403

Keskihajonnan neliö on nimeltään varianssi, jota merkitään Keskihajonta Dx =  kertoo, kuinka paljon satunnaismuuttujan x arvot keskimäärin poikkeavat keskiarvos-ta. Keskihajonnan neliö on nimeltään varianssi, jota merkitään T055403

Diskreetin satunnaismuuttujan x keskihajonta saadaan laskettua, kun tunnetaan satunnaismuuttujan arvot ja niitä vastaavat pistetoden-näköisyydet sekä odotusarvo : T055403

Binomijakauman tunnusluvut Binomijakauman odotusarvolle ja keskihajonnalle voidaan johtaa seuraavat kaavat: T055403

Esimerkki 2. Määritä esimerkin 1 empiirisen jakauman ja teoreettisen jakauman odotusarvo ja keskihajonta. T055403

Olkoon x  Bin (10, 3/4). Määritä Ex ja Dx. Esimerkki 3. Olkoon x  Bin (10, 3/4). Määritä Ex ja Dx. T055403

T055403

Bin(30,0.4) T055403

Bin(100,0.13) T055403

Poisson-jakauma Binomitodennäköisyyden käyttäy-tymistä tutkimalla on mahdollista osoittaa, että suorittamalla ”raja-prosessin” antamalla n  , jol-loin p  0, odotusarvo pysyy vakiona (merk. ). T055403

Mikäli satunnaismuuttujan x arvo-joukko on N, ja jos satunnaismuut-tujan pistetodennäköisyydet ovat

niin sanotaan, että x on Poisson-jakautunut parametrina . Poisson-jakauma on tärkeä, sillä sitä voidaan soveltaa tilanteisiin, joissa ollaan kiinnostuneita sattu-miskertojen lukumäärästä esim. pituus- tai aikayksikköä kohden. T055403

Erityisesti tämä malli on käyttökel-poinen, kun lukumäärällä ei ole mi-tään ylärajaa (esimerkiksi tuotteen virheiden lukumäärä). T055403

Poisson-jakauman odotusarvo ja keskihajonta:

Poisson(10) T055403

Poisson(50) T055403

Esimerkki 4. Eräässä kaupungissa on havaittu, että sähkökatkoksia sattuu vuo-sittain keskimäärin 17 kertaa. Millä todennäköisyydellä kuukauden ai-kana sähkökatkoksia on enemmän kuin 2? T055403

Esimerkki 5. Tehtaan mukaan kondensaattori täyttää laatuvaatimukset tn:llä 0,999. Mikäli kondensaattoreita ostetaan 500 kpl pakkauksissa, niin millä todennäköisyydellä erässä on enintään 4 viallista? T055403