Ympyrään liittyviä lauseita Jos kulman kärki on ympyrän kehällä ja kyljet leikkaavat ympyrää, kulmaa sanotaan kehäkulmaksi. Kulma-aukeamaan jäävää kehän osaa AB kutsutaan kehäkulmaa vastaavaksi kaareksi. a B Tilanteesta riippuen kehäkulmaa a kutsutaan myös kaarta AB vastaavaksi kehäkulmaksi. A Rajatapaus kaarta AB vastaavasta kehäkulmasta saadaan kun toinen kyljistä on jänne AB ja toinen jänteen päätepisteeseen piirretty tangentti. a B A Kaarta tai kehäkulmaa vastaava keskuskulma saadaan kun yhdistetään jänteen AB päätepisteet ympyrän keskipisteeseen. Kaaren pituus ilmoitetaan usein asteilla kuten vastaava keskuskulma. a + b a on kaarta AB vastaava kehäkulma tai keskuskulmaa b vastaava kehäkulma. b on kaarta AB vastaava keskuskulma tai kehäkulmaa a vastaava keskuskulma. B

+ Lause : Kehäkulma on puolet vastavasta keskuskulmasta. + 1. Todistamme ensin yksikertaisimman tapauksen, jossa kehäkulman kylki on samalla ympyrän halkaisija. C Oletus: Ympyrässä kaarta AB vastaava keskuskulma a, jonka toinen kylki kulkee ympyrän keskipisteen kautta ja keskuskulma b. a A r a Väitös: b = 2a. r Todistus: Kolmio OCA on tasakylkinen, joten kärjen A kulma on myös a. + b O Kulma b on tasakylkisen kolmion kolmannen kulman vieruskulma. Kolmion kahden kulman summa = kolmannen vieruskulma, joten b = 2a. M.O.T. B 2. Todistamme yleisemmän tapauksen, jossa kehäkulma kyljet ovat eri puolilla keskipistettä. B Oletus (kyljet eri puolilla keskipistettä) ja väitös samoin kuin edellä. a Todistus: Piirretään kehäkulman B kärjestä ympyrän halkaisija. + O Puoliympyrässä BCD on kulma DBC puolet kulmasta DOC kohdan 1 perusteella. b Samoin puoliympyrässä BAD on kulma ABD puolet kulmasta AOD. C Kehäkulman ABC kumpikin osakulma on puolet keskuskulman AOB vastaavista osakulmista. A Täten b = 2 a. M.O.T. B D a 3. Kehäkulman kyljet ovat samalla puolella ympyrän keskipistettä. - Piirretään apupiirroksena halkaisija BD. + O - Kehäkulmille ABD ja CBD on lause voimassa 1. kohdan mukaan. A b Kulmien erotuksena saamme a ja b, joten lause on voimassa myös kulmille. M.O.T. C D

b + Käyttökelpoisia seurauksia: a Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuria P a Pistettä P voi liikuttaa mihin tahansa pisteeseen kaarella AB ja kehäkulman suuruus säilyy! Se on aina puolet vastaavasta keskuskulmasta, joka on kiinteä! A a Rajatapauksena toinen kylki voi olla jänne AB ja toinen sen päätepisteeseen piirretty tangentti. a a a B Puoliympyrää vastaava kehäkulma on suorakulma Tangenttikulma a ja vastaava keskuskulma b. a b + Koska keskuskulma on 180 astetta on kehäkulma siitä puolet eli 90 astetta.

+ Osoita kolmiot PBO ja PAO yhteneviksi! Lause: Tangenttikulman kyljet kulman kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä pitkät. + Osoita kolmiot PBO ja PAO yhteneviksi! O P B Lause: Tangenttikulman ja vastaavan keskuskulman astelukujen summa on 180 astetta. Todista lause! Vihje: Nelikulmion APBO kulmain summa on 360 astetta ja nelikulmiossa on kaksi 90 asteen kulmaa jolloin kahden kulman summa täytyy olla 180 astetta.