TÄRPPEJÄ – YO 2010 PITKÄ MATEMATIIKKA

KURSSIT 0 - 2

S08 2. 3. 4x3 - 5x2 = 2x – 3x3 4x3- 5x2 – 2x + 3x3 = 0 7x3 – 5x2 – 2x = 0 x(x2 – 5x2 – 2) = 0 x = 0 V x = 1 V x = -2/7 | 12 6 – 4x > 9 -4x > 3 | : (-4)

YOs09 VEROTON HINTA + ALV = VEROLLINEN HINTA (ASIAKKAAN MAKSAMA HINTA) veroton hinta = x 1,17  x = 54,35 x = 46,65 UUSI ALV = 17 % - 9 % = 8 % 1,08  46,45  50,17 54,35 € – 50,17 € = 4,18 € HALVEMPI 50,17 / 54,35 = 0,9231 100% - 92,3% = 7,7 %

Sievennä murtolauseke Esimerkki 3 Sievennä murtolauseke rtk-kaavalla nimittäjän nollakohdat x1 = 1/3 ja x2 =2

KURSSI 3

S06 Ympyrän ympäri piirretty neliö sivu = 2r r A Ympyrän sisään piirretty neliö: r = neliön lävistäjän puolikas neliön sivu a:

d = 0,10 m YOS08 h 14 m d = 0,35 m Yhden tukin tilavuus: Kaadettujen määrä: Tukin pituus = 14m – 4 m = 10 m Huom: vastaukseksi on käynyt myös 457, 450, 460

KURSSI 4

S08 Taulukkokirjan kaava: y – y0 = k(x – x0) k = 3/5

YMPYRÄN TANGENTTI suora s on tangentti tangentilla ja ympyrällä yksi yhteinen piste yhteiseen pisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa tangenttia vasten

Tangentti on säteen etäisyydellä keskipisteestä: Esimerkki 4, kirjasta Määritä pisteestä (3, 5) ympyrälle x2 + y2 = 2 piirrettyjen tangenttien yhtälöt Tangentin kulmakerroin = k Tangentin yhtälö: y – 5 = k(x – 3) kx – y – 3k + 5 = 0 Ympyrän kp = (0, 0) säde = 2 Tangentti on säteen etäisyydellä keskipisteestä: Ratkaisukaavalla: k = 1 tai k = 23/7 x – y + 2 = 0, 23x – 7y -34 = 0

KURSSI 5

KUVIO – 1 PISTE S05

S06 i + 7j =x(2i + 3j) +y(-7i + 6j) i + 7j =2xi + 3xj -7yi + 6yj i + 7j =(2x-7y)i + (3x+6y)j 33y = 11 y = 1/3 x sijoittamalla: x= 5/3 S06

KURSSI 6

S05 P(kuoret samanväriset) = P(rr tai mm tai ss)

s00 25 = 32

x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 2. noppa p0 = 6/36 E.4. Noppaa heitetään kahdesti. Esitä satunnaismuuttujan x = silmälukujen erotuksen itseisarvon jakauma. x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 1 2 3 4 5 6 1. noppa 2. noppa 6 5 4 3 2 1 p0 = 6/36 p1 = 10/36 p2 = 8/36 p3 = 6/36 p4 = 4/36 p5 = 2/36 5 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

E.7. Mikä on kahden nopan heitossa silmälukujen erotuksen itseisarvon odotusarvo? E.4… p0 = 6/36 p1 = 10/36 p2 = 8/36 p3 = 6/36 p4 = 4/36 p5 = 2/36 x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 Ex =

S01 Edellinen päivä Seuraava päivä: sataa pouta Pouta 0,20 0,80 Sade 0,60 0,40 Ylihuomenna sataa, kun tänään on pouta PPS tai PSS P(PPS tai PSS) = 1  0,80  0,20 + 1  0,20  0,60 = 0,28 V: 28 % todennäköisyydellä S01

KURSSI 7

Dsinx = cosx Dcosx = -sinx Dfg =fDg + gDf f ’(x) = sinx  Dcosx + cosx  Dsinx = sinx  (-sinx) + cosx  cosx = -sin2x + cos2x f ’(0) = -sin20 + cos20 = 1

S03 f ’ (x) = 2x – 3 2x – 3 = 1 2x = 4 x = 2

K04 k = tan y ’ = 2x – 2 2x – 2 = 1 x = 3/2 y sijoittamalla

KURSSI 8

ex = e0 x = 0 log(xy2) – 2logy = logx + logy2 – 2logy = logx + 2logy – 2logy =logx logxy = logx + logy logxr = rlogx

E.4. Milloin funktio f(x) = ln (x2 + 3) - ½ln x on vähenevä? Määritelty, kun x > 0, jolloin jatkuva ja derivoituva f ’(x) = 0 1 x2 - 1 - + 2x + + - + f ’(x) f (x) V: Vähenevä, kun 0 < x < 1

KURSSI 9

Määritä yhtälön sin 2x = sin 30° ne ratkaisut, jotka ovat välillä [-180°, 270°]. 2x = 30 + n  360 tai 2x = (180 - 30) + n  360 2x = 30 + n  360 tai 2x = 150 + n  360 x = 15 + n  180 tai x = 75 + n  180 x = -165 tai x = 15 tai x = 195 x = -105 tai x = 75 tai x = 255

K06

S04

KURSSI 10

S2008 2.

Osittaisintegointi 3 f ’(x) = ex g(x) = x f(x) = ex g’(x) = 1