m0 M7 Maksimitermi Minimitermi Boole A = A A · 0 = 0 SOP De Morgan POS KYTKENTÄALGEBRA Boole A = A m0 A + B C = (A + B) (A + C) F(A, B, C) =  m (2, 3, 5, 7) A · 0 = 0 SOP Maksimitermi M7 De Morgan POS Minimitermi

Johdanto Tässä luvussa esitetään kytkentäalgebra, jonka teoreemojen avulla kytkentäfunktioiden lausekkeita voidaan muokata esitetään käytännössä erityisen tärkeät De Morganin kaavat määritellään kytkentäfunktioiden standardimuodot SOP ja POS esitellään minimi- ja maksimitermit ja kytkentäfunktioiden kanoniset muodot esitetään, miten totuustaulusta voidaan johtaa saman kytkentäfunktion toteuttava kanonisessa muodossa oleva lauseke esitetään, miten kytkentäfunktion lausekkeesta voidaan johtaa saman funktion totuustaulu Luku on melko teoreettinen, mutta tärkeä; se muodostaa pohjan luvussa 5 käsiteltävälle lausekkeiden sieventämiselle Esitettäviä käsitteitä käytetään jatkossa, kun suunnitellaan käytännön digitaalipiirejä

Kytkentäalgebra Kytkentäfunktioiden lausekkeita voidaan muuntaa toiseen muotoon ja yksinkertaistaa kytkentäalgebran (switching algebra) teoreemojen avulla Kytkentäalgebrasta käytetään myös nimitystä Boolen algebra Yhden muuttujan teoreemat: A + 0 = A A · 1 = A A + 1 = 1 A · 0 = 0 A + A = A A · A = A A + A = 1 A · A = 0 A = A samalla rivillä olevia teoreemoja nimitetään duaaliteoreemoiksi ? 1 Usean muuttujan teoreemat (pätevät myös n:lle muuttujalle): A + B = B + A A B = B A (vaihdantalaki) A + (B + C) = (A + B) + C A (B C) = (A B) C (liitäntälaki) A (B + C) = A B + A C A + B C = (A + B) (A + C) (osittelulaki)

+    De Morganin kaavat ? Tärkeät usean muuttujan teoreemat Merkittävät erityisesti kytkentäfunktioita sievennettäessä A + B = A · B A · B = A + B kahdelle muuttujalle A + B + … + N = A · B · ... · N A · B · … · N = A + B + ... + N n:lle muuttujalle  +   Käytännön nyrkkisääntö: viiva poikki merkit toisiksi ? 2

Kytkentäfunktioiden standardimuodot Kaikki kytkentäfunktiot voidaan esittää standardimuodoissa tulojen summamuoto eli SOP (Sum Of Products) lauseke muodostuu usean JA-funktion TAI-funktiosta JA-funktioita nimitetään tulotermeiksi (product term) Esimerkki: F = C + A B + A B C Tulotermit F saa arvon 1, kun yksikin tulotermi saa arvon 1 SOP G saa arvon 0, kun yksikin summatermi saa arvon 0 POS summien tulomuoto eli POS (Product Of Sums) lauseke muodostuu usean TAI-funktion JA-funktiosta TAI-funktioita nimitetään summatermeiksi (sum term) Esimerkki: G = C (A + B) (A + B + C) Summatermit Näistä tulojen summamuoto on käytännössä tärkeämpi ja yleisempi ? 3

Minimi- ja maksimitermit SOP-lausekkeessa oleva tulotermi on minimitermi (minterm) ja POS-lausekkeessa oleva summatermi on maksimitermi (maxterm), jos termissä esiintyvät kaikki muuttujat muuttuja saa esiintyä sellaisenaan tai komplementtina Minimitermi min Esimerkki: F(A, B, C) = C + A B + A B C ? 4 G(A, B, C) = C (A + B) (A + B + C) Maksimitermi MAX Minimitermi saa arvon 1 vain yhdellä muuttujien arvoyhdistelmällä Maksimitermi saa arvon 1 kaikilla paitsi yhdellä muuttujien arvoyhdistelmällä; se saa siis arvon 0 vain yhdellä yhdistelmällä n:llä muuttujalla on 2n erilaista minimitermiä ja 2n erilaista maksimitermiä

Kolmen muuttujan minimi- ja maksimitermit Minimitermi saa rivillä arvon 1 ja maksimitermi arvon 0 Muuttujat Minimitermit Maksimitermit A B C Tulotermi Symboli Summatermi Symboli 0 0 0 A B C m0 A + B + C M0 0 0 1 A B C m1 A + B + C M1 0 1 0 A B C m2 A + B + C M2 0 1 1 A B C m3 A + B + C M3 1 0 0 A B C m4 A + B + C M4 1 0 1 A B C m5 A + B + C M5 1 1 0 A B C m6 A + B + C M6 1 1 1 A B C m7 A + B + C M7 Jokainen kytkentäfunktio voidaan esittää minimitermiensä loogisena summana ja maksimitermiensä loogisena tulona mi Mi

Kytkentäfunktion kanoniset muodot Kytkentäfunktion esitystä minimitermiensä loogisena summana nimitetään funktion kanoniseksi tulojen summamuodoksi (canonical SOP) Kytkentäfunktiolla on vain yksi kanoninen SOP Esimerkki: F(A, B, C) = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Minkä hyvänsä tulotermin arvo 1 antaa funktiolle arvon 1 mi Mi Kytkentäfunktion esitystä maksimitermiensä loogisena tulona nimitetään funktion kanoniseksi summien tulomuodoksi (canonical POS) Kytkentäfunktiolla on vain yksi kanoninen POS Esimerkki: F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) Minkä hyvänsä summatermin arvo 0 antaa funktiolle arvon 0

Kytkentäfunktion kanonisten muotojen esitystavat Kanonisia muotoja esitetään kolmella eri tavalla muuttujien avulla minimi- ja maksimitermien symbolien summina ja tuloina kahdella eri merkintätavalla Esimerkki SOP-muodosta: F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C F(A, B, C) = m0 + m2 + m3 + m4 + m6 F(A, B, C) =  m (0, 2, 3, 4, 6) Yhteensä kaikki numerot Esimerkki POS-muodosta: F = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) F(A, B, C) = M1 · M5 · M7 F(A, B, C) =  M (1, 5, 7)

Funktion totuustaulua vastaava kanoninen SOP Tunnetaan kytkentäfunktion totuustaulu Halutaan funktion määrittelevä SOP-lauseke Muodostetaan niiden minimitermien looginen summa, joille arvon 1 antavan rivin kohdalla funktion arvo on 1 Tämä on kytkentäfunktion kanoninen SOP-lauseke Esimerkki: F(A, B, C) = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ? 5 F(A, B, C) = m0 + m1 + m4 + m5 + m6 F(A, B, C) =  m (0, 1, 4, 5, 6)

Funktion totuustaulua vastaava kanoninen POS Tunnetaan kytkentäfunktion totuustaulu Halutaan funktion määrittelevä POS-lauseke Muodostetaan niiden maksimitermien looginen tulo, joille arvon 0 antavan rivin kohdalla funktion arvo on 0 Tämä on kytkentäfunktion kanoninen POS-lauseke Esimerkki: A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) ? 6 F(A, B, C) = M2 · M3 · M7 F(A, B, C) =  M (2, 3, 7)

Funktion lauseketta vastaava totuustaulu HTOL Digitaalitekniikan perusteet Luku 4 Sivu 12 (49) 1998-1999 Luentokalvoseloste 12.6.1998 Fe Funktion lauseketta vastaava totuustaulu Tunnetaan kytkentäfunktion määrittelevä lauseke (mikä hyvänsä muoto) Halutaan funktion totuustaulu Sijoitetaan muuttujien arvot lausekkeeseen jokaisen rivin kohdalla erikseen Lasketaan vastaavat funktion arvot Esimerkki: F(A, B, C) = B (A + C) A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Tarvitsee laskea vain siihen asti, että arvo varmistuu! F(0, 0, 0) = 0 (A + C) = 1 1 F(0, 0, 1) = 0 (A + C) = 1 1 F(0, 1, 0) = 1 (0 + 0) = 1 (1 + 0) = 0 F(0, 1, 1) = 1 (0 + 1) = 1 (1 + 1) = 0 F(1, 0, 0) = 0 (A + C) = 1 F(1, 0, 1) = 0 (A + C) = 1 1 F(1, 1, 0) = 1 (1 + 0) = 1 (0 + 0) = 1 F(1, 1, 1) = 1 (1 + 1) = 1 (0 + 1) = 0 1

Funktion SOP-lauseketta vastaava totuustaulu HTOL Digitaalitekniikan perusteet Luku 4 Sivu 13 (49) 1998-1999 Luentokalvoseloste 12.6.1998 Fe Funktion SOP-lauseketta vastaava totuustaulu Tunnetaan kytkentäfunktion määrittelevä SOP-lauseke Halutaan funktion totuustaulu Merkitään funktion arvoksi 1 riveille, joilla jokin tulotermi saa arvon 1 Muille riveille merkitään arvoksi 0 Esimerkki: F(A, B, C) = B + A C + A B C A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ? 7

Funktion POS-lauseketta vastaava totuustaulu HTOL Digitaalitekniikan perusteet Luku 4 Sivu 14 (49) 1998-1999 Luentokalvoseloste 12.6.1998 Fe Funktion POS-lauseketta vastaava totuustaulu Tunnetaan kytkentäfunktion määrittelevä POS-lauseke Halutaan funktion totuustaulu Merkitään funktion arvoksi 0 riveille, joilla jokin summatermi saa arvon 0 Muille riveille merkitään arvoksi 1 Esimerkki: F(A, B, C) = (A + B) (B + C) (A + B + C) A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 ? 8 Esittele DigiDemo- ohjelma

Yhteenveto HTOL Digitaalitekniikan perusteet Luku 4 Sivu 15 (49) 1998-1999 Luentokalvoseloste 12.6.1998 Fe Yhteenveto Kytkentäfunktioita voidaan muokata kytkentäalgebran teoreemoilla Käytännössä tärkeät teoreemat ovat De Morganin kaavat Kytkentäfunktio voidaan esittää kahdessa eri standardimuodossa: tulojen summamuodossa (SOP) ja summien tulomuodossa (POS) Minimi- ja maksimitermeissä esiintyvät kaikki muuttujat Minimitermien avulla esitetty SOP on kanoninen SOP Maksimitermien avulla esitetty POS on kanoninen POS Totuustaulusta saadaan helposti kanoninen SOP ja POS Lausekkeesta saadaan totuustaulu sijoittamalla lausekkeeseen jokainen arvokombinaatio vuorollaan SOP- ja POS-lausekkeista saadaan totuustaulu suoraan tulo- tai summatermi kerrallaan