LUKUJÄRJESTELMÄMUUNNOKSET

Esitys aiheesta: "LUKUJÄRJESTELMÄMUUNNOKSET"— Esityksen transkriptio:

1 LUKUJÄRJESTELMÄMUUNNOKSET
HTOL Digitaalitekniikan perusteet Luku 8 Sivu 1 (43) Luentokalvoseloste Fe LUKUJÄRJESTELMÄMUUNNOKSET k10 210 2´s10 10  8 10  16 102 102´s 28 82 216 162

2 Johdanto Tässä luvussa
perustellaan, miksi on tarpeellista osata muuntaa lukuja lukujärjestelmästä toiseen esitetään lukujen muuntaminen lukujärjestelmästä toiseen keskitytään erityisesti muunnoksiin kymmenjärjestelmän ja kaksijärjestelmän lukujen välillä käsitellään lyhyesti myös muita digitaalilaitteiden yhteydessä tarpeellisia muunnoksia Luvun tavoitteena on opettaa ymmärtämään lukujärjestelmämuunnosten tarpeellisuus opettaa muuntamaan lukuja lukujärjestelmästä toiseen, erityisesti tekemään muunnoksia kymmenjärjestelmän ja kaksijärjestelmän lukujen välillä

3 Lukujärjestelmämuunnokset
Ihminen haluaa antaa syöttötiedot kymmenjärjestelmässä Tietokone käsittelee parhaiten binaarilukuja tarvitaan muunnos 10-järjestelmästä 2-järjestelmään Tietokone laskee tulokset binaarilukuina Ihminen haluaa tulostiedot kymmenjärjestelmän lukuina tarvitaan muunnos 2-järjestelmästä 10-järjestelmään Suunnittelija ja ohjelmoija tarvitsevat muitakin muunnoksia 10-järjestelmä  16-järjestelmä 16-järjestelmä  10-järjestelmä 2-järjestelmä  16-järjestelmä havainnollisuus, lyhyt esitys 16-järjestelmä  2-järjestelmä bittitason signaalien tarkastelu 2-järjestelmä  8-järjestelmä 8-järjestelmä  2-järjestelmä 10  2 merkkikoodien esitys, muistipaikkojen numerot jne. joissain järjestelmissä käytetään oktaalilukuja

4 Etumerkittömän luvun muunnos muusta järjestelmästä kymmenjärjestelmään
Käytetään esityksen määrittelyn summakaavaa Tehdään laskutoimitus kymmenjärjestelmässä Kätevä tehdä esimerkiksi laskimella 210 Esimerkiksi muunnos kaksijärjestelmästä kymmenjärjestelmään: Luku on Bn Bn-1 … B2 B1 B0 , B-1 B-2 B-3 … B-m Käytetään summakaavaa: B = Bn · 2n + Bn -1 · 2n -1 + … + B2 · 22 + B1 · 21 + B0 · B-1 · B-2 · B-3 · … + B-m · 2-m Esimerkki: 10101,012 = 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 + 0· ·2-2 = 21,2510

5 Etumerkittömän luvun muunnos kymmenjärjestelmästä muuhun järjestelmään
Muunnetaan kokonaisosa Muunnetaan murto-osa Yhdistetään tulokset 10k :k Kokonaisosan muunnosalgoritmi jaetaan muunnettavaa lukua jatkuvasti muun järjestelmän kantaluvulla erotetaan jakojäännökset jatketaan, kunnes osamäärä on nolla muunnostulos saadaan jakojäännöksistä ·k Murto-osan muunnosalgoritmi kerrotaan muunnettavaa lukua jatkuvasti muun järjestelmän kantaluvulla erotetaan kokonaisosat jatketaan, kunnes murto-osa on nolla tai on saatu riittävä muunnostulos muunnostulos saadaan kokonaisosista

6 Muunnos 10-järj:stä 2-järjestelmään, kokonaisosa
Esimerkki: muunna 999, kaksijärjestelmään. Esityspituus on 32 bittiä, josta 22 bittiä kokonaisosassa. Muunnetaan kokonaisosa: Jakolaskut Tulokset Jakojäännökset 999/2 = /2  1 (lsb) 499/2 = /2  1 249/2 = /2  1 124/2 = /2  0 62/2 = /2  0 31/2 = /2  1 15/2 = 7 + 1/2  1 7/2 = 3 + 1/2  1 3/2 = 1 + 1/2  1 1/2 = /2  1 (msb) Saadaan = Pilkkua lähinnä oleva bitti saadaan ensin ? 1 102

7 Muunnos 10-järj:stä 2-järjestelmään, desimaaliosa
Muunnettava luku on 999, Muunnetaan desimaaliosa: Kertolaskut Tulokset Kokonaisosat 2 · 0, = 1 + 0,15625  1 (msb) 2 · 0,15625 = 0 + 0,3125  0 2 · 0,3125 = 0 + 0,625  0 2 · 0,625 = 1 + 0,25  1 2 · 0,25 = 0 + 0,5  0 2 · 0,5 =  1 (lsb) Saadaan 0, = 0, Yhdistetään muunnostulokset: 999, = , Lisätään nollat, alkuun 12 ja loppuun neljä: , = , Pilkkua lähinnä oleva bitti saadaan ensin ? 2 102

8 Muunnos 10-järj:stä 2-järj., päättymätön desimaaliosa
Desimaaliosan muunnos ei yleensä pääty Pyöristetään niin, että saatu muunnostulos mahtuu käytettävissä olevaan bittimäärään Esimerkki: Muunna 0,310 kaksijärjestelmään. Luvussa on bittiä. Kertolaskut Tulokset Kokonaisosat 2 · 0,3 = 0 + 0,6  0 (msb) 2 · 0,6 = 1 + 0,2  1 2 · 0,2 = 0 + 0,4  0 2 · 0,4 = 0 + 0,8  0 2 · 0,8 = 1 + 0,6  1 2 · 0,6 = ,2  1 … Pyöristetään ja saadaan siis: 0,310 = 0,01012 = 0000,01012 ? 3 102 Esittele muunnos- laskin

9 Muista järjestys:  täydennys,  yhdistäminen
Muunnos kymmenjärjestelmän luvusta kahden komplementtimuotoiseksi luvuksi Luvun suuruusosa muunnetaan binaariluvuksi Täydennetään tarvittaessa käytettävään sananpituuteen kokonaisosa: lisätään nollia alkuun murto-osa: lisätään nollia loppuun Jos luku on positiivinen merkkibitiksi 0 suuruusosa sellaisenaan merkkibitin perään Jos luku on negatiivinen merkkibitiksi 1 suuruusosan kahden komplementti merkkibitin perään 102’s Muista järjestys:  täydennys,  yhdistäminen

10 Muunnos kymmenjärjestelmän luvusta kahden komplementtimuotoiseksi luvuksi, esimerkki
Esimerkki: Muunna kymmenjärjestelmän luku -113,62510 kahden komplementtimuotoiseksi binaariluvuksi. Sananpituus on 16 bittiä, joista kokonaisosaan käytetään 10 bittiä. Muunnetaan kokonaisosa 113 jatkuvan kahdella jakamisen algoritmilla binaariluvuksi. Saadaan = Muunnetaan murto-osa 0,625 jatkuvan kahdella kertomisen algoritmilla binaariluvuksi. Saadaan 0,62510 = 0,1012 Yhdistetään tulokset suuruusosaksi: 113,62510 = ,1012 Täydennetään: kokonaisosa 10 bittiä, murto-osa bittiä = 5 bittiä ,1012 = ,101002 Luku on negatiivinen merkkibitiksi 1 suuruusosan kahden komplementti merkkibitin perään -113,62510 = , (kahden komplementtimuoto) ? 4 102’s

11 Muunnos kahden komplementtimuotoisesta luvusta kymmenjärjestelmän luvuksi
Muunnetaan etumerkki-itseisarvoesitykseen Muunnetaan suuruusosa kymmenjärjestelmän luvuksi määritelmän mukaan summakaavalla B = Bn · 2n + Bn -1 · 2n -1 + … + B2 · 22 + B1 · 21 + B0 · B-1 · B-2 · B-3 · … + B-m · 2-m Etumerkki määräytyy merkkibitin mukaan: 0  +, 1  - Toinen tapa: käytetään suoraan summakaavaa, mutta otetaan merkkibitti mukaan miinusmerkkisenä B = -Bn +1 · 2n+1 + Bn · 2n + Bn -1 · 2n -1 + … + B2 · 22 + B1 · 21 + B0 · B-1 · B-2 · B-3 · … + B-m · 2-m 210

12 Muunnos kahden komplementtimuotoisesta luvusta kymmenjärjestelmän luvuksi, esimerkkejä
Esimerkki: Muunna kahden komplementtimuotoiset binaariluvut A = ja B = kymmenjärjestelmään. A = (positiivinen, suora muunnos summakaavalla) = + (1 · · · · · · · 20 ) = + ( ) = +9910 ? 5 B = (negatiivinen, kahden komplementtimuotoinen) = (negatiivinen, etumerkki-itseisarvomuotoinen) = - (1 · · · · · · · 20 ) = - ( ) = -7610 B:n suora muunnos: B = (negatiivinen, kahden komplementtimuotoinen) = -1 · · · · · · · · 20 = = -7610

13 Muunnokset 2-, 8- ja 16-järjestelmien välillä
Koska 8 = 23 ja 16 = 24, muunnokset ovat helppoja ja tehdään bittejä ryhmittelemällä ja muuntamalla kukin ryhmä erikseen Tarvittaessa etumerkittömän binaariluvun alkuun lisätään nollia ja kahden komplementtimuotoisen luvun alkuun merkkibittejä Esimerkki: Muunna 16-bittinen etumerkitön binaariluku oktaaliluvuksi ja heksadesimaaliluvuksi Oktaaliluvuksi: Heksaluvuksi: 0 B A Muunnokset oktaali- ja heksadesimaalilukujen välillä tehdään binaarilukujen kautta 8  2  16 ja 16  2  8 ? 6 28 Lisätään nollat 216

14 Yhteenveto Digitaalitekniikassa tarvitaan lukujärjestelmämuunnoksia, koska ihmiset ovat tottuneet kymmenjärjestelmään ja tietokoneet laskevat parhaiten binaariluvuilla Muunnos muusta järjestelmästä kymmenjärjestelmään tehdään käyttämällä summakaavaa Muunnos kymmenjärjestelmästä muuhun järjestelmään tehdään kahdella jakamisen algoritmilla (kokonaisosa) ja kahdella kertomisen algoritmilla (murto-osa) Murto-osan muunnos voi olla päättymätön jolloin lopputulos pyöristetään Muunnos kymmenjärjestelmän luvusta kahden komplementtimuotoiseksi luvuksi on kolmivaiheinen Muunnos kahden komplementtimuotoisesta luvusta kymmenjärjestelmän luvuksi voidaan tehdä joko kaksivaiheisena tai suorana muunnoksena Muunnokset binaariluvuista oktaali- ja heksadesimaaliluvuiksi ja kääntäen tehdään bittejä ryhmittelemällä