1 Dynaamiset systeemit Talousmatematiikan 3 ov aineopinto- jakso MAT.113 Opettajat –Professori Ilkka Virtanen (luennot) –Assistentti Virpi Elomaa (harjoitukset) Aikataulu –Luennot 36 h, viikot 42 – 45, »ti D218 »ke D119ei »to D218 –Harjoitukset 16 h, viikot »ma D218 »ti D218(vain ) Kirjallisuus (oheislukemisto ja harj.) –runsaasti kirjallisuutta tavallisista differentiaali- yhtälöistä (ordinary differential equations), erityisesti Seppo Salo: Tavalliset differentiaali- yhtälöt, dynaamisista systeemeistä (dynamical systems) ja differenssiyhtälöistä (difference equations). –Erityisalueiden (kontrolliteoria, kaaosteoria) kirjat mainitaan luennoilla. Talousmatematiikan 3 ov aineopinto- jakso MAT.113 Opettajat –Professori Ilkka Virtanen (luennot) –Assistentti Virpi Elomaa (harjoitukset) Aikataulu –Luennot 36 h, viikot 42 – 45, »ti D218 »ke D119ei »to D218 –Harjoitukset 16 h, viikot »ma D218 »ti D218(vain ) Kirjallisuus (oheislukemisto ja harj.) –runsaasti kirjallisuutta tavallisista differentiaali- yhtälöistä (ordinary differential equations), erityisesti Seppo Salo: Tavalliset differentiaali- yhtälöt, dynaamisista systeemeistä (dynamical systems) ja differenssiyhtälöistä (difference equations). –Erityisalueiden (kontrolliteoria, kaaosteoria) kirjat mainitaan luennoilla.

2 Dynaamiset systeemit Sisältöerittely (1) IDIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (DY) Johdatus aiheeseen, käsitteitä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt –Separoituva differentiaaliyhtälö –Tasa-asteinen (homogeeninen) yhtälö –Eksakti differentiaaliyhtälö –Integroivan tekijän keino –Esimerkkejä –Lineaarinen differentiaaliyhtälö »Homogeeninen yhtälö »Täydellinen yhtälö »Vakiokertoiminen yhtälö »Erikoistapauksia –Sovelluksia »Yksinkertainen kasvumalli »Puoliintumisaika »Jatkuva korkolasku »Auton jälleenmyyntihinta »Logistinen kasvumalli »Makrotaloudellinen malli »Mikrotaloudellinen malli IDIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (DY) Johdatus aiheeseen, käsitteitä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt –Separoituva differentiaaliyhtälö –Tasa-asteinen (homogeeninen) yhtälö –Eksakti differentiaaliyhtälö –Integroivan tekijän keino –Esimerkkejä –Lineaarinen differentiaaliyhtälö »Homogeeninen yhtälö »Täydellinen yhtälö »Vakiokertoiminen yhtälö »Erikoistapauksia –Sovelluksia »Yksinkertainen kasvumalli »Puoliintumisaika »Jatkuva korkolasku »Auton jälleenmyyntihinta »Logistinen kasvumalli »Makrotaloudellinen malli »Mikrotaloudellinen malli

3 Dynaamiset systeemit Sisältöerittely (2) Toisen ja korkeamman kertaluvun DY:t –Palautus sijoituksella 1. kertaluvun DY:ksi –Lineaariset DY:t »Homogeenisen yhtälön ratkaisun rakenne »Täydellisen yhtälön ratkaisun rakenne »Vakiokertoimiset 2. kertaluvun DY:t »Vakiokertoimisen DY:n stabiilisuus »Vakiokertoimiset n:nnen kertaluvun DY:t »Sovellus: kysyntä - tarjonta -malli Differentiaaliyhtälöryhmät –Lineaarinen vakiokertoiminen 1. kl DY-ryhmä –DY-ryhmän ratkaisun stabiilisuus DY:n numeerisesta ratkaisemisesta –Ratkaisumenetelmiä –Ratkaisu Mathematicalla (myös analyyttisesti) Toisen ja korkeamman kertaluvun DY:t –Palautus sijoituksella 1. kertaluvun DY:ksi –Lineaariset DY:t »Homogeenisen yhtälön ratkaisun rakenne »Täydellisen yhtälön ratkaisun rakenne »Vakiokertoimiset 2. kertaluvun DY:t »Vakiokertoimisen DY:n stabiilisuus »Vakiokertoimiset n:nnen kertaluvun DY:t »Sovellus: kysyntä - tarjonta -malli Differentiaaliyhtälöryhmät –Lineaarinen vakiokertoiminen 1. kl DY-ryhmä –DY-ryhmän ratkaisun stabiilisuus DY:n numeerisesta ratkaisemisesta –Ratkaisumenetelmiä –Ratkaisu Mathematicalla (myös analyyttisesti)

4 Dynaamiset systeemit Sisältöerittely (3) IIDIFFERENSSIYHTÄLÖT Differenssi ja differenssiyhtälöt 1. kertaluvun differenssiyhtälöt 2. kertaluvun differenssiyhtälöt Taloustieteellisiä sovelluksia –Finanssimatematiikan sovellukset –Yksinkertainen Cobweb -malli –Samuelsonin akseleraattorimalli Stabiilisuustarkasteluja IIIDYNAAMISIA SYSTEEMEITÄ KÄSIT- TELEVIÄ TEORIOITA Kontrolliteoria (optimiohjauksen teo-ria, variaatiolaskenta, säätöteoria) –lyhyt esittely, esimerkki Kaaos-teoria –lyhyt esittely Katastrofiteoria, systeemidynamiikka –ei käsitellä IIDIFFERENSSIYHTÄLÖT Differenssi ja differenssiyhtälöt 1. kertaluvun differenssiyhtälöt 2. kertaluvun differenssiyhtälöt Taloustieteellisiä sovelluksia –Finanssimatematiikan sovellukset –Yksinkertainen Cobweb -malli –Samuelsonin akseleraattorimalli Stabiilisuustarkasteluja IIIDYNAAMISIA SYSTEEMEITÄ KÄSIT- TELEVIÄ TEORIOITA Kontrolliteoria (optimiohjauksen teo-ria, variaatiolaskenta, säätöteoria) –lyhyt esittely, esimerkki Kaaos-teoria –lyhyt esittely Katastrofiteoria, systeemidynamiikka –ei käsitellä

5 I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (1) 1. Johdanto –Funktion derivaatta »Määritelmä »Geometrinen havainnollistus –Funktion differentiaali »Määritelmä »Yhteys derivaattaan »Geometrinen havainnollistus »Funktion differentiaali funktion muutoksen kuvaajana –Differentiaaliin perustuva mallintamisesimerkki –Differentiaaliyhtälöt »Määritelmä »Esitysmuodot »Differentiaaliyhtälön ratkaisun luonne Yksittäinen ratkaisu funktio Kaikki ratkaisut muodostavat funktioparven –Yleinen ratkaisu –Tietyt alkuehdot toteuttava yksityisratkaisu Erikoisratkaisu »Esimerkkejä eri tyyppisistä differentiaali- yhtälöistä 1. Johdanto –Funktion derivaatta »Määritelmä »Geometrinen havainnollistus –Funktion differentiaali »Määritelmä »Yhteys derivaattaan »Geometrinen havainnollistus »Funktion differentiaali funktion muutoksen kuvaajana –Differentiaaliin perustuva mallintamisesimerkki –Differentiaaliyhtälöt »Määritelmä »Esitysmuodot »Differentiaaliyhtälön ratkaisun luonne Yksittäinen ratkaisu funktio Kaikki ratkaisut muodostavat funktioparven –Yleinen ratkaisu –Tietyt alkuehdot toteuttava yksityisratkaisu Erikoisratkaisu »Esimerkkejä eri tyyppisistä differentiaali- yhtälöistä

6 I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (2) 2. Ensimmäisen kertaluvun diff.yhtälöt Separoituva differentiaaliyhtälö –Separoituvan DY:n yleinen muoto –Ratkaisu integroimalla »Ratkaisu suljetussa muodossa »Implisiittinen ratkaisu –Separoituvaksi palautuva yhtälö Homogeenifunktion määräämä DY –DY:n yleinen muoto –Palautus sijoituksella separoituvaksi DY:ksi –Ratkaisu Eksakti differentiaaliyhtälö –Yhtälön muoto –Ratkaisu Integroivan tekijän keino –Palautus eksaktiksi yhtälöksi –Ratkaisu Esimerkkejä yksinkertaisista DY:stä 2. Ensimmäisen kertaluvun diff.yhtälöt Separoituva differentiaaliyhtälö –Separoituvan DY:n yleinen muoto –Ratkaisu integroimalla »Ratkaisu suljetussa muodossa »Implisiittinen ratkaisu –Separoituvaksi palautuva yhtälö Homogeenifunktion määräämä DY –DY:n yleinen muoto –Palautus sijoituksella separoituvaksi DY:ksi –Ratkaisu Eksakti differentiaaliyhtälö –Yhtälön muoto –Ratkaisu Integroivan tekijän keino –Palautus eksaktiksi yhtälöksi –Ratkaisu Esimerkkejä yksinkertaisista DY:stä

7 I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (3) Lineaarinen differentiaaliyhtälö (LDY) –Yhtälöä LDY vastaava homogeeninen DY –Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu –LDY:n yksityisratkaisu –LDY:n yleinen ratkaisu –Yksityisratkaisun löytäminen »Kokeilu muodon perusteella »Vakion varioimiskeino –LDY:n yleisen ratkaisun yleinen luonne »Muutos (transientti) ja steady state -vaiheet Sovelluksia –Yksinkertainen kasvumalli »Vakiosuhteinen eksponentiaalinen kasvu –Puoliintumisaika »Negatiivinen eksponentiaalinen kasvu »Erikoistapaus: puoliintumisaika esim. radio- aktiivisessa hajoamisessa –Jatkuva korkolasku »Kasvumallin sovellus korko- ja investointi- laskelmiin –Auton jälleenmyyntihinta »Negatiivisen kasvumallin sovellus »Jatkuvat poistot Lineaarinen differentiaaliyhtälö (LDY) –Yhtälöä LDY vastaava homogeeninen DY –Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu –LDY:n yksityisratkaisu –LDY:n yleinen ratkaisu –Yksityisratkaisun löytäminen »Kokeilu muodon perusteella »Vakion varioimiskeino –LDY:n yleisen ratkaisun yleinen luonne »Muutos (transientti) ja steady state -vaiheet Sovelluksia –Yksinkertainen kasvumalli »Vakiosuhteinen eksponentiaalinen kasvu –Puoliintumisaika »Negatiivinen eksponentiaalinen kasvu »Erikoistapaus: puoliintumisaika esim. radio- aktiivisessa hajoamisessa –Jatkuva korkolasku »Kasvumallin sovellus korko- ja investointi- laskelmiin –Auton jälleenmyyntihinta »Negatiivisen kasvumallin sovellus »Jatkuvat poistot

8 I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (4) –Logistinen kasvumalli »Rajoitettu kasvu kohti tasapainotilaa –Makrotaloudellinen malli »Domarin kasvumalli –Mikrotaloudellinen malli »Kysyntä-tarjonta -tasapainomalli 3.Toisen ja korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Palautus 1. kertaluvun DY:ksi –Muotoa y”= f(x,y’) olevat yhtälöt »Sijoitus y’= z –> z’= f(x,z) »Ratkaisu kaksinkertaisella integroinnilla –Muotoa y”= f(y,y’) olevat yhtälöt »Sijoitus ja ratkaiseminen kuten edellä Lineaariset 2. kertaluvun DY:t –Johdanto »LDY:n yleinen muoto »LDY:n yleisen ratkaisun periaate –Logistinen kasvumalli »Rajoitettu kasvu kohti tasapainotilaa –Makrotaloudellinen malli »Domarin kasvumalli –Mikrotaloudellinen malli »Kysyntä-tarjonta -tasapainomalli 3.Toisen ja korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Palautus 1. kertaluvun DY:ksi –Muotoa y”= f(x,y’) olevat yhtälöt »Sijoitus y’= z –> z’= f(x,z) »Ratkaisu kaksinkertaisella integroinnilla –Muotoa y”= f(y,y’) olevat yhtälöt »Sijoitus ja ratkaiseminen kuten edellä Lineaariset 2. kertaluvun DY:t –Johdanto »LDY:n yleinen muoto »LDY:n yleisen ratkaisun periaate

9 I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (5) –Vakiokertoimiset 2. kertaluvun LDY:t »Homogeeniyhtälön ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla »Homogeeniyhtälön ratkaisun tyypit »Vakiokertoimisen LDY:n stabiilisuus –Vakiokertoimiset n:nnen kertaluvun DY:t –Sovellus: kysyntä - tarjonta -malli 4. Differentiaaliyhtälöryhmät –Lineaarinen vakiokertoiminen 1. kl DY-ryhmä –LDY-ryhmän ratkaisun stabiilisuus 5. DY:n numeerisesta ratkaisemisesta –Ratkaisumenetelmiä »Eulerin menetelmä Perusmenetelmä Modifikaatiot »Runge-Kutta -menetelmä –DY:n ratkaiseminen Mathematicalla »Analyyttinen ratkaisu »Numeerinen ratkaisu –Vakiokertoimiset 2. kertaluvun LDY:t »Homogeeniyhtälön ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla »Homogeeniyhtälön ratkaisun tyypit »Vakiokertoimisen LDY:n stabiilisuus –Vakiokertoimiset n:nnen kertaluvun DY:t –Sovellus: kysyntä - tarjonta -malli 4. Differentiaaliyhtälöryhmät –Lineaarinen vakiokertoiminen 1. kl DY-ryhmä –LDY-ryhmän ratkaisun stabiilisuus 5. DY:n numeerisesta ratkaisemisesta –Ratkaisumenetelmiä »Eulerin menetelmä Perusmenetelmä Modifikaatiot »Runge-Kutta -menetelmä –DY:n ratkaiseminen Mathematicalla »Analyyttinen ratkaisu »Numeerinen ratkaisu

10 II DIFFERENSSIYHTÄLÖT (1) Differenssi ja differenssiyhtälöt –Differenssin määritelmä –Yhteys derivaattaan –Differenssi ja diskreettiargumenttisen funktion perättäiset arvot –Differenssikaavoja –Differenssiyhtälö 1. kl:n vakiokertoimiset differenssiyht. –Yleisen ratkaisun komponentit »Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu »Koko yhtälön yksityisratkaisu »Komponenttien tulkinnat 2. kl:n vakiokertoimiset differenssiyht. –Ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla –Eri tyyppiset ratkaisut –Johdatus korkeamman kertaluvun vakiokertoi- misiin differenssiyhtälöihin Taloustieteellisiä sovelluksia –Finanssimatematiikan sovellukset »Jaksolliset maksut »Annuiteettilaina Differenssi ja differenssiyhtälöt –Differenssin määritelmä –Yhteys derivaattaan –Differenssi ja diskreettiargumenttisen funktion perättäiset arvot –Differenssikaavoja –Differenssiyhtälö 1. kl:n vakiokertoimiset differenssiyht. –Yleisen ratkaisun komponentit »Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu »Koko yhtälön yksityisratkaisu »Komponenttien tulkinnat 2. kl:n vakiokertoimiset differenssiyht. –Ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla –Eri tyyppiset ratkaisut –Johdatus korkeamman kertaluvun vakiokertoi- misiin differenssiyhtälöihin Taloustieteellisiä sovelluksia –Finanssimatematiikan sovellukset »Jaksolliset maksut »Annuiteettilaina

11 II DIFFERENSSIYHTÄLÖT (2) –Yksinkertainen Cobweb -malli –Samuelsonin akseleraattorimalli Stabiilisuustarkasteluja –1. kertaluvun differenssiyhtälön tasapainoratkai- sun stabiilisuus »Lineaarinen vakiokertoiminen differenssi- yhtälö »Yleinen 1. kertaluvun differenssiyhtälö –Kahden muuttujan 1. kertaluvun vakiokertoimi- nen differenssiyhtälöryhmä ja sen tasapainorat- kaisun stabiilisuus »Yhtälöryhmä »Yhtälöryhmän ratkaisu »Tasapainoratkaisun stabiilisuus –Yksinkertainen Cobweb -malli –Samuelsonin akseleraattorimalli Stabiilisuustarkasteluja –1. kertaluvun differenssiyhtälön tasapainoratkai- sun stabiilisuus »Lineaarinen vakiokertoiminen differenssi- yhtälö »Yleinen 1. kertaluvun differenssiyhtälö –Kahden muuttujan 1. kertaluvun vakiokertoimi- nen differenssiyhtälöryhmä ja sen tasapainorat- kaisun stabiilisuus »Yhtälöryhmä »Yhtälöryhmän ratkaisu »Tasapainoratkaisun stabiilisuus