2.2.1 . Rajoitetut jonot 1. Alhaalta rajoitettu jono Jono (an) on alhaalta rajoitettu, jos  sellainen luku m, että " n : an ³ m   2. Ylhäältä rajoitettu jono Jono (an) on ylhäältä rajoitettu, jos  luku M, että " n : an £ M 3. Rajoitettu jono Jono on rajoitettu, jos se on ylhäältä ja alhaalta rajoitettu Katso esimerkit 1 & 2, kirja s. 86 - 87

E.1. Kirja, s. 85 Lukujonolle on aina positiivinen (n positiivinen) Lukujono (an) on alhaalta rajoitettu. Jonon eräs alaraja on m = 1 suurin arvo on 1 (n = 1) Lukujono (an) on ylhäältä rajoitettu. Jonon eräs yläraja on M = 3 Siis jono alhaalta ja ylhäältä rajoitettu, siis rajoitettu

E.2. kirja, s. 87 Osoita, että lukujono on alhaalta, mutta ei ylhäältä rajoitettu Koska n on positiivinen kokonaisluku, on jokainen jonon termi positiivinen eli an > 0 Jono on alhaalta rajoitettu. Eräs alaraja m = 0 Koska Siis lukujonon termit saavat mielivaltaisen suuria arvoja Lukujono ei ole ylhäältä rajoitettu

2.2.2. Monotoniset jonot Jono (an) on kasvava, jos " n : an+1 ³ an aidosti kasvava, jos " n : an+1 > an aidosti vähenevä, jos " n : an+1 < an vähenevä, jos " n : an+1 £ an Jono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Jono on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

Monotonisuuden tutkiminen 1) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien erotusta Sievennä lauseketta an+1 - an . Jos erotus on positiivinen n:n arvosta riippumatta, niin jono on aidosti kasvava. 2) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien suhdetta Sievennä lauseketta an+1 : an. Jos se on > 1 n:n arvosta riippumatta ja termit positiivisia, niin jono on aiodsti kasvava. 3) Monotonisuuden laatu tutkimalla jonoa vastaavaa jatkuvaa funktioa Korvaa lukujonon termin lausekkeessa n x:llä ja tutki näin saatua jatkuvan funktion monotonisuutta derivaatan avulla. Jos funktion derivaatta on > 0 kaikilla x:illä, niin se on aidosti kasvava kaikilla kokonaislukuarvoillakin.

an+1 – an > 0 ? E.1. Osoita, että lukujono an = on kasvava. TAPA1 joten an+1 > an. Lukujono on (aidosti) kasvava

TAPA2 an+1 : an > 1 ? Siis a n+1 > an. Joten lukujono on (aidosti) kasvava.

f’(x) = f(x) = TAPA3 Funktio on derivoituva, kun x ≥ 1 Funktio on (aidosti) kasvava, kun x ≥ 1. Siis f(n+1) > f(n) eli an+1 > an n  Z+ Lukujono on (aidosti) kasvava