Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa

Funktion f(x) määrittelyjoukko Funktion määrittelyjoukko tarkoittaa niitä x:n arvoja mitä funktiolla voidaan antaa Esim.

Rationaalifunktion määrittelyjoukko

Supistaminen

Murtolausekkeen supistaminen

Toisen asteen funktion tekijöihin jako nollakohtien perusteella ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), missä x1 ja x2 ovat funktion nollakohtia.

Muistikaavat

Rationaalilausekkeen sieventäminen Lavennetaan samannimisiksi samalla tavalla kuin murtoluvutkin

Funktion raja-arvo

Esim.

Kuva tilanteesta y=b x=a

Funktion raja-arvon määrittely

Esim.

Esim.

Raja-arvon olemassaolo Raja-arvoa ei ole olemassa, jos ns. toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuria

Funktion jatkuvuus

Miltä kuvaaja näyttää? JATKUVA EI JATKUVA PISTEESSÄ X=3

Polynomifunktio on kaikkialla jatkuva

Rationaalifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan

Bolzanon lause

Esim.

Esim.

Kasvunopeus

Esim. Kasvin kasvunopeus Piirrä tangentti kohtaan x=70. Tangentin kulmakerroin ilmoittaa kasvunopeuden

Funktion derivaatta Tangentin kulmakerroin on funktion f derivaatta kohdassa a. Sitä merkitään f’(a).

Aina derivaattaa ei ole

Esim. Päättele derivaatat kuvasta

Erotusosamäärä

Derivaatan määritelmä

Esim.

Derivaattafunktio T. 111 ollaan laskettu, että vakiofunktion f(x)=c derivaatta f’(x)=0. Miksi? Kuvaaja vaakasuora suora, jonka kulmakerroin aina nolla T. 118 ollaan laskettu, että funktion f(x)=kx derivaatta f’(x)=k. Miksi? Kuvaajana aina suora, jonka kulmakerroin eli myös tangentin kulmakerroin aina k. Mikä olisi funktion f(x)=x2 derivaattafunktio? Laske derivaatta kohdassa a.

Esim.

Derivaatan laskusääntöjä

Esim.

Esim.

Tangentin yhtälö Laske f’(x0), joka on tangentin kulmakerroin k eli k = f’(x0) Suoran yhtälö y – y0 = k(x – x0) eli tangentin yhtälö y – y0 = f’(x0)(x – x0) (x0, y0)

Normaalin yhtälö Normaali on kohtisuorassa tangenttia vastaan eli kulmakertoimien tulo on -1. k1k2 = -1 k1 = f’(1)

Esim.

Esim.

Derivoituvan funktion kasvaminen Funktio on aidosti kasvava, kun f ’ (x) > 0. f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

Derivoituvan funktion väheneminen Funktio on aidosti vähenevä, kun f ’ (x) < 0. f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

Esim.

Funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot

Funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot

Esim.

Funktion suurin ja pienin arvo suljetulla välillä [a,b] Löytyvät derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä

Yleisohjeet

Esim.

Sovelluksia

Sovelluksia

Tulon derivaatta

Potenssin derivaatta

Osamäärän derivaatta

Rationaaliyhtälö ja rationaaliyhtälön merkki Esim. funktio (x+2):(x-3) Milloin funktio on määritelty? Kun x on erisuuri kuin 3 Mitkä ovat funktion nollakohdat? Kun x+2 = 0 eli x= -2 Milloin funktion merkki voi vaihtua? Ainoastaan funktion nollakohdissa tai kohdissa, joissa funktiota ei ole määritelty

Rationaaliepäyhtälön ratkaisu Esim. 135 Älä kerro lausekkeelle x-3, koska se saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja Siirrä kaikki termit samalle puolelle ja lavenna samannimisiksi Tee merkkikaavio, johon tulee syntyvän funktion nollakohdat ja kohdat, joissa funktiota ei ole määritelty Laske merkit laskimella

Sovelluksia Suunnittele suoran ympyrälieriön muotoinen tölkki, jonka pinta-ala on mahdollisimman pieni ja tilavuus 1 litra