JATKUVAN AWGN-KANAVAN KAPASITEETTI — SHANNON-HARTLEY -LAKI

Shannonin 2. teoreema ─ kanavakoodausteoreema Shannonin 2. teoreema olettaa kanavan muistittomuuden eli symbolien välisen riippumattomuuden, eli kukin symboli kärsii kohinasta muista symboleista riippumatta. Lisäksi tiedonsiirtoon on käytettävissä tarvittaessa mielivaltaisen pitkä aika (esim. virheenkorjaava kanavakoodi voi kestää hyvin kauan). Teoreema on vain olemassaoloteoreema, eikä konstruktiivinen, ts. se ei kerro miten nuo koodit löydetään. Shannonin 2. teoreema (kanavakoodausteoreema): Olkoon diskreetin muistittoman kanavan kapasiteetti C ja olkoon siihen liitetyllä lähteellä positiivinen informaationopeus R siten, että R < C. Tällöin on olemassa koodi, jota käyttäen lähteen symbolit voidaan siirtää mielivaltaisen pienellä virhetodennäköisyydellä (ts. PE  0) kohinaisen kanavan yli. Seuravaksi määrittellään jatkuvan kanavan kapasiteetti hieman eri tavalla kuin kaavassa C = max[I(X;Y)] diskreetille kanavalle. Shannon-Hartley-laki on informaatioteorian tunnetuin kaava:

Shannon-Hartley -laki Logaritmin kantaluku = 2! Jatkuvan kanavan kaistanleveys on B Hz ja AWGN-kanavan SNR on S/N. Kaavan (10.46) kapasiteetin yksikkö oli [bittiä/symboli], mutta Cc:n [bittiä/sekunnissa]. Voidaan päätellä kaistanleveyden ja lähetystehon (ts. SNR:n) välisen kaupankäynnin mahdollisuus. Kohinattomassa (N = 0) kanavassa SNR =   Cc =  nollasta poikkeavalle äärelliselle kaistanleveydelle! Kohinan läsnäollessa (SNR < ) kapasiteettia ei voida kasvattaa mielivaltaisen suureksi vain kaistanleveyttä lisäämällä! Jos Shannonin raja ylitetään jollakin (Eb/N0,Rb,B) -kombinaatiolla, ei ole enää mahdollista saavuttaa mielivaltaisen pientä virhesuhdetta (PE  0) AWGN-kanavassa millään modulaation ja virheenkorjaavan koodauksen yhdistelmällä. Pian osoitetaan, että Eb/N0 täytyy olla aina suurempi kuin –1,6 dB (ns. Shannonin ”vesiputousraja”), jotta PE  0.

Shannon-Hartley -laki PE ≠ 0 PE  0

Esimerkki

AWGN-KANAVAN KAPASITEETTI ERI PARAMETRISUUNNISTA TARKASTELTUNA

C = max[I(X;Y)] SNR:n (z = Eb/N0:n) funktiona BSC -kanavan siirtotn. perusteella (BPSK:n PE -arvon) on laskettu kaavan C = max[I(X;Y)] kapasiteetti yksiköissä [bit/symb]. Opetus: Kun PE  0, niin C  1

Kapasiteetti vs. SNR ─ Kaistanleveys vakio Opetus: Kun SNR (Eb/N0)   (ts. kohinaton tilanne), niin C   äärellisellä kaistanleveydellä. Opetus: Jos kohinaa, tms. ei olisi, niin periaatteessa kaikki digitaalinen tietoliikenne mahtuisi 1 Hz kaistalle!

Kapasiteetti vs. Kaistanleveys ─ SNR vakio Opetus: Vaikka W  , niin kapasiteettiarvon kasvu saturoituu kohinan vaikuttaessa (SNR << ). Se kasvaisi rajatta, jos SNR = .

Parametrien SNR (Eb/N0), W ja C keskinäinen riippuvuus Opetus: 3D-esitys havainnollistaa parametrien SNR, W ja C välisen riippuvuuden ja järkevän toiminta-alueen.

Shannon –1,6 dB:n rajan johto Ajatellaan toimittavan kapasiteetirajalla, eli Rb = Cc. Lasketaan paljonko Eb/N0:n on silloin oltava, jotta PE  0: Optimaalisella järjestelmällä (kun Rb = Cc) Eb/N0 lähestyy raja-arvoa –1,6 dB, kun kaistanleveys B kasvaa rajatta. Rajakäyrä jakaa (Eb/N0,Rb/B) -tason kahteen alueeseen. Alueessa Rb  Cc voi PE  0, mutta alueessa Rb > Cc PE ≠ 0 aina. Kiinnostavassa toiminta-alueessa Rb < Cc tarvitaan signaaliteho S  RbN0Wln2, jotta Eb/N0  –1,6 dB. Tuota aluetta kutsutaan tehorajoitetuksi alueeksi.

Shannon-Hartley -laki (Eb/N0,Rb/B) -tasossa B täällä pieni  kaistarajoitettu tapaus. Kaistanleveyttä rajallisesti käytettävissä. Tarvitaan suuri lähetysteho (Eb/N0). B täällä suuri  tehorajoitettu tapaus. Kaistanleveyttä paljon käytettävissä. Pärjätään pienellä lähetysteholla (Eb/N0). Normaali toiminta-alue. Tällä alueella voi PE  0. Tällä alueella PE ≠ 0 aina.

Tehorajoitetut vs. kaistarajoitetut järjestelmät Käytettävissä oleva teho (SNR) ja kaistanleveys ovat tiedonsiirron kaksi perusresurssia, jotka ohjaavat järjestelmätyypin valintaa. Shannon-Hartley -lain perusteella voidaan päätellä kaupankäyntimahdollisuus tehon ja kaistan välillä. Järjestelmät voidaan siis jaotella tehorajoitettuihin ja kaistarajoitettuihin järjestelmiin. Tehorajoitettu tilanne on mm. avaruussovellus (satelliitit, luotaimet). Niissä käytetään aaltomuotoja, jotka ovat signaaliavaruudessa mahdollisimman kaukana toisistaan (esim. ortogonaalinen MFSK tai BPSK), jotta kohinan suuren varianssin vaikuttaessa (suhteessa signaalivektorin pituuteen) voidaan tehdä luotettavia symbolipäätöksiä. Tällöin käytettävissä oleva kaista ei ole ongelma. Tilaajajohtomodeemi on selvästi kaistarajoitettu sovellus. Silloin käytetään symboliaaltomuotoja, jotka ovat 2-ulotteisessa signaaliavaruudessa lähellä toisiaan (esim. QAM, MPSK). Kohinan varianssi kompensoidaan lähetystehoa lisäämällä (vektorien välinen euklidinen etäisyys kasvaa, kun amplitudi kasvaa; esim. MPSK:n I/Q-diagramminn säde kasvaa).

Tehorajoitettu järjestelmä MFSK-modulaatiolla PE-käyrät (vesiputouskäyrät) ohittavat Shannonin rajan oikealta. Käyrät lähestyvät M-tasoisilla ortogonaalisilla modulaatioilla rajaa, kun M  , MFSK vastaa efektiivisesi tehokasta virheen korjaavaa koodausta. Myös vaihemodulaation ja virheen korjaavan koodauksen yhteisvaikutuksella lähestytään Shannonin –1,6 dB -rajaa. On siis erilaisia keinoja lähestyä rajaa, joko modulaatiolla, tai kanavakoodauksella tai niiden sopivalla yhdistelmällä. Jokainen ”temppu” siirtää laskettavissa olevan dB -määrän käyrää vasemmalle koti -1,6 dB:n rajaa.

Kaupankäynti PB:n, Eb/N0:n ja R/W:n välillä (S)

Kaupankäynti PB:n, Eb/N0:n ja R/W:n välillä (S) Kuvassa on tarkasteltu erilaisia kaupankäyntejä (Eb/N0,PB) ja (Eb/N0,R/W) -tasoissa (G = gained, C = cost, F = fixed). Kaupankäyntiä joudutaan miettimään järjestelmäsuunnittelussa.

KAISTAN KÄYTÖN TEHOKKUUS (S)

Ortogonaalinen vs. monivaiheinen signalointi (S) Kaupankäyntitarkasteluissa bittinopeus R normalisoidaan kanavan kaistanleveydellä W. Suhde R/W ─ jonka yksikkö on [bit/s/Hz] ─ kuvaa suhteellista kaistanleveyttä, eli kaistankäytön tehokkuutta. Se riippuu karkeasti ottaen parametriarvosta k = log2M ja tarkkaan ottaen myös siitä onko kyseessä MPSK- vai MFSK, ja edelleen siitä onko koherentti vai epäkoherentti MFSK (kantoaaltojen taajuusero vaikuttaa arvoon). Oppikirjoissa esiintyy hieman erilaisia määrittelykaavoja kaistankäytön tehokkuudelle, joten eri lähteistä peräisin olevissa numeroarvoissa ja kuvaajissa saattaa esiintyä pieniä eroja. BPSK ─ 1 bit/s/Hz, QPSK ─ 2 bit/s/Hz, 8PSK ─ 3 bit/s/Hz, 16PSK ja 16QAM ─ 4 bit/s/Hz (Sklarin kirjan määritelmän mukaan). MFSK:lla se on puolestaan murto-osia, kuten 1/2, 1/3,1/4, jne.. Kun R ja PB vakioina, MFSK:n kaistanleveys kasvaa (tarvitaan enemmän ortogonaalisia kanto-aaltoja, joilla on sopiva taajuusväli). MFSK vastaa efektiivisesti tehokasta virheen korjaavaa koodausta, mutta paljon huonommalla kaistan käytön tehokkuudella.

Ortogonaalinen vs. monivaiheinen signalointi (S) Kuvaajat on piirretty arvolle PB = 10–5 Yhdellä pistetaajuudella/kaistalla voi toimia kaksi ortogonaalista signaalia häiritsemättä toisiaan. BPSK ja QPSK saavuttavat saman virhetodennäköisyyden samalla SNR-arvolla, kun verrataan samalla bittinopeudella toimivia järjestelmiä.