GEOMETRIA MAA3 - 2008

TRIGONOMETRISET FUNKTIOT b a c 

b a c  Esimerkki Laske sivun x pituus. x 34 m 68  34 V: 84 m

b a c  Suorakulmaisen kolmion toisen terävän kulman suuruus on 28 ja lyhyemmän kateetin pituus on 7,3 cm. Laske hypotenuusan pituus. 7,3 cm x 28  x :sin 28 V: 16 cm

b a c  Laske kulman  suuruus. 16 m 12 m 

a2 + b2 = c2 PYTHAGORAAN LAUSE c a b KATEETTIEN NELIÖIDEN SUMMA = HYPOTENUUSAN NELIÖ

Laske hypotenuusan x pituus. 3 4 x 32 + 42 = x2 9 + 16 = x2 (25 = x2) x2 = 25 x = 5 KATEETTIEN NELIÖIDEN SUMMA = HYPOTENUUSAN NELIÖ

Laske kateetin x pituus. 4 6 x2 + 42 = 62 x2 + 16 = 36 x2 = 36 - 16 x2 = 20

Pythagoras – onko kolmio suorakulmainen Esimerkki Kolmion sivut ovat 2, 3 ja 4. Onko kolmio suorakulmainen? Mahdollinen hypotenuusa: 4 Mahdolliset kateetit: 2 ja 3 22 + 32 = 42 13 = 16 epätosi V: Kolmio ei ole suorakulmainen

Kolmiot tasasivuinen kolmio teräväkulmainen kolmio suorakulmainen kolmio tylppäkulmainen kolmio tasakylkinen kolmio

(leikkaavat samassa pisteessä) Muista: Tasakylkisessä (kaksi sivua yhtä pitkiä) kolmiossa huipusta piirretty korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman   Termit korkeusjana keskijana (leikkaavat samassa pisteessä)

Sinilause   Esimerkki Voidaan käyttää, kun kolmiosta tunnetaan - 2 kulmaa ja yksi sivu - 2 sivua ja toisen vastainen kulma   Esimerkki Kolmion kaksi sivua ovat pituudeltaan 3,8 cm ja 5,7 cm sekä näistä pienemmän sivun vastainen kulma 32 º . Laske kolmion muut kulmat. Kulmat: 52,6 º ja 95,4 º tai 127,4 º ja 20,6 º 3,8 3,8  sin = 5,7  sin32º | : 3,8 sin = 0,795   52,6 º tai 180 º - 52,6 º = 127,4 º 32 5,7

46º 6,0 m 6,0m A = ½ ab sin A = ½  6,0  6,0  sin 46º  13 (m2)

Kosinilause  a2 = b2 + c2 - 2bccos  Esimerkki - kaikki sivut - yksi kulma ja 2 sivua  a2 = b2 + c2 - 2bccos  Esimerkki Kolmion kulman suuruus on 63 º ja viereisten sivujen pituudet ovat 5,0 cm ja 8,0 cm. Laske kolmannen sivun pituus. b= 5,0 cm c = 8,0 cm  = 63 º a = ? a2 = 5,02 + 8,02 – 2  5,0  8,0  cos63º a2 = 52,68 a = 7,3 cm

Laske puolisuunnikkaan pinta-ala. 21,0 km 14,0 km 5,0 km Tasakylkinen suunnikas => erisuuntaiset kyljet ovat yhtä pitkät  88 km2

Esimerkki Neliön pinta-ala on 25 cm2 Mikä on sivun pituus? x2 = 25 A = x2 x V: 5 cm Esimerkki Suunnikkaan pinta-ala on 35 cm2 Kanta on 7 cm. Laske korkeus. Korkeus = h 7h = 35 |:7 h = 5 V: 5 cm a h A = ah

Esimerkki Ympyrän halkaisija on 7,2 cm. Laske a) pinta-ala b) kehän pituus r = d / 2 = 7,2 cm / 2 = 3,6 cm b) p = d =  7,2 cm  23 cm  41 (cm2) Esimerkki Ympyrän pinta-ala on 32 cm2. Laske säde.

r = 1,3 m =74° Laske sektorin a) sektorin ala b) kaaren pituus b r 

= - Segmentin pinta-ala = Sektorin pinta-ala b r - keskuskolmion pinta-ala r b  = -

Suorakulmainen särmiö c V = abc x b a tai kaava (taulukkokirja) avaruuslävistäjä c

E. 1. Suorakulmaisen särmiön särmät ovat 3, 4 ja 12 E.1. Suorakulmaisen särmiön särmät ovat 3, 4 ja 12. Laske avaruuslävistäjän pituus.

E. 5. Suoran ympyrälieriön leveys ja korkeus ovat 20 cm E.5. Suoran ympyrälieriön leveys ja korkeus ovat 20 cm. Mikä on vaipan ala?

E. 4. Suoran ympyräkartion pohjaympyrän säde on 5 ja sivujana 13 E.4. Suoran ympyräkartion pohjaympyrän säde on 5 ja sivujana 13. Laske kartion tilavuus. h2 = 132 – 52 h2 = 144

Laske säännöllisen pyramidin pinta-ala Pyramidin vaippa koostuu neljästä samankokoisesta kolmiosta 13 m x2 + 52 = 132 x2 = 132 - 52 x2 = 144 x = 12 10 m 10 m 13 m Av = x

E.7. Mikä on suoran ympyräkartion vaipan ala, kun pohjan säde on 3 ja korkeus 4? A = rs =  ·3 · 5 = 15

E.8. Miten suuri säde on pallolla, jonka pinta-ala on 1 m2? V: 28 cm

   +  = 180 º (vieruskulmat) ristikulmat yhtä suuret s r s || r samankohtaisia kulmia

TASOKUVIOIDEN YHTENEVYYS Monikulmiot ovat yhtenevät, jos niiden vastinsivut javastinkulmat ovat yhtä suuret. (”kuviot samanmuotoiset ja samankokoiset”) (”kuviot päällekkäin asetettuna peittävät toisensa”) Kuvioiden yhtenevyyttä merkitään symbolilla  E.1. A A’ D D’ K1  K2 K1 K2 B C B’ C’ AB = A’B’ BC = B’C’

sks sss kks ksk ssk Kolmioiden yhtenevyyslauseet Yhtenevien kuvioiden vastinosat ovat yhtä suuret kulmat samanlaatuisia

Todistaminen Lause Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret Oletus Kolmio ABC on tasakylkinen Väitös Kantakulmat <BAC ja <ABC ovat yhtä suuret Todistus Piirretään kannalle AB keskijana CD, jolloin AD = BD (tasakylkinen kolmio) AC = BC (tasakylkinen kolmio) DC = DC (yhteinen) S C ACD  BCD (sss) Kantakulmat ovat yhtenevien kolmioiden vastinkulmina yhtä suuret A B D

Vastinkulmat yhtä suuret ja vastinsivut verrannolliset Yhdenmuotoisuus Vastinkulmat yhtä suuret ja vastinsivut verrannolliset Esimerkki Kuvasta tehtiin pienennös. Mikä on kuvion korkeus pienennöksessä? x 8,2 cm 17,3x = 104,94 | : 17,3 x  6,1 V: 6,1 cm 12,8 cm 17,3 cm

Esimerkkejä mittakaavasta Kartalla 8,7 cm, mittakaava 1 : 50 000. Mikä todellisuudessa? x = 8,7  50 000 x = 435 000 (cm)  4,4 km b) Etäisyys 111 km. Mittakaava 1 : 200 000. Mitta kartalla? 200000x = 111 | : 200 000 x  0,000555 (km) = 55,5 cm c) Kartalla 7,4 cm – todellisuudessa 3,7 km. Mittakaava? 7,4 cm : 3,7 km 7,4 cm : 370000 cm | : 7,4 cm 1 : 50 000

Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö Esimerkki Kartan mittakaava on 1 : 50 000. Järven pinta-ala kartalla 5,7 cm2. Mikä on järven pinta-ala? A = 50 0002  5,7 A = 1,4*1010 cm2 A = 1,4 km2

Yhdenmuotoisten kuvioiden kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio Esimerkki Avaruusaluksen pienoismallin (1 : 100) tilavuus 3,0 cm3. Mikä on avaruusaluksen tilavuus? A = 1003  5,7 A = 3,0  106 dm3 A = 3000 m3

Kolmioiden yhdenmuotoisuus Lause kk Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset. C C’  ABC   A’B’C’ B’ A’ A B Muut sks ssk ssk sss (sivut verrannollisia)

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia (kk), koska < ABC = < ADE (90º) Esimerkki Kolmiot ovat yhdenmuotoisia (kk), koska < ABC = < ADE (90º) < BAC = < DAE (sama kulma) A joki x C B 40 m 30 m D E 67 m 67x = 40(x + 30) 67x = 40x + 120 27x = 120 | : 27 x  44 (m)

Lause Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Esimerkki Kolmion sivujen pituudet ovat 3, 5, ja 6. Laske niiden osien pituudet, joihin suurimman kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun. 5 3 5x = 18 - 3x x = 2,25 6 - 2,25 = 3,75 6 - x x 6

NELIKULMIOT Suunnikas = nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset

Lause Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret Oletus ABCD suunnikas, jolloin AD || BC ja AB || DC (määritelmä) Väitös vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret D C A B G Todistus: Sivun AB jatke puolisuora AG < BAD = < GBC samankohtaisina kulmina < GBC = < BCD samankohtaisina kulmina < BAD = < BCD Vastaavasti kulmat ADC ja CBA ovat yhtä suuret

Lause Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät Lause Jos nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät, niin nelikulmio on suunnikas Lause Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa Suunnikkaiden vierekkäiset kulmat ovat suplementtikulmia Nelikulmioiden sisäkulmien summa on 360º

Esimerkki Suunnikkaan yksi kulma on 70 º. Miten suuria ovat muut kulmat? Vastakkainen kulma: 70 º Kahdelle muulle kulmalle: 360 º - 2 70 º = 220 º’ 220 º / 2 = 110 º V: Kulmat: 70 º, 70 º, 110 º, 110 º

4.3.3. Kolmion kulman puolittajalause Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa.

Millaisiin osiin suurimman kulman puolittaja jakaa pisimmän sivun? E.1. Kolmion sivut ovat 4, 6, 7 Millaisiin osiin suurimman kulman puolittaja jakaa pisimmän sivun? 4 6 4x = 6(7 – x) 4x = 42 – 6x 10x =42 7 - x x 7

Kehäkulma ja sitä vastaava keskuskulma  = kehäkulmaa vastaava keskuskulma  Kehäkulmaa vastaava kaari  Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta:  = ½ Kehäkulma = kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kylkinä kaksi jännettä tai toisena kylkenä on jänne ja toisena ympyrän tangentti

Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret  =   

Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora  = 90º 

Tangenttikulman kyljet mitattuina kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä suuret  P B PA = PB

Tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma ovat toistensa suplementtikulmia   P B  +  = 180º

E.1. Ympyrän kehäkulma on 27º. Mikä on vastaavan keskuskulman suuruus? 2  27º = 54º E.2. Ympyrän säde on 13. Halkaisijan AB päätepisteestä A on piirretty 10 pituinen jänne AP. Laske PB. Halkaisija = 2 13 = 26 PB = 24

Maapallo näkyy miehitetystä avaruusaluksesta 52º kulmassa. Mikä on avaruusaluksen etäisyys Maasta? Maapallon säde on 6370 km. 52º 6370 Aluksen etäisyys Maasta: 14530 km - 6370 km = 8200 km x = 14530

Muita käyttökelpoisia lauseita Suorakulmaisen kolmio hypotenuusalle piirretty korkeusjana jakaa kolmion kahdeksi kolmioksi, jotka ovat yhdenmuotoisia sekä alkuperäisen kolmion kanssa että keskenään Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa janaa vasten Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi Kolmien kulmien summa on 180º

Lause Kolmiossa suuremman kulman vastainen sivu on pidempi kuin pienemmän kulman vastainen sivu Kolmion kahden sivun keskipisteiden yhdysjana on kolmannen sivun suuntainen ja puolet siitä Kolmion keskinormaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Kolmion kulmien puolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste.