MAA0 LUKUALUEET Luonnolliset luvut N = 0,1,2,3,… Kokonaisluvut Z = … ,-3,-2,-1,0,1,2,3,… Merkinnät: x kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon x ei kuulu luonnollisten lukujen joukkoon

MAA0 Rationaaliluvut Q luvut, jotka voidaan esittää murtolukuina Jokainen kokonaisluku Päättyvä desimaaliluku Päättymätön jaksollinen desimaaliluku Esimerkki 2 Esitä x supistettuna murtolukuna, kun x = 0,444… x = 0,444... 10x = 4,444… 10x - x = 4,444… - 0,444… 9x = 4 |:9 x = 4/9

1.1.3 - 4. Laskutoimituksia rationaaliluvuilla 1. Laventaminen Osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. 2. Supistaminen Osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. E.1. Lavenna luvulla 4 E.2. Supista

3. Kertolasku Sekamurtoluvut muutetaan ensin varsinaisiksi murtoluvuiksi. Tulon osoittajaksi osoittajien tulo ja nimittäjäksi nimittäjien tulo. Lopuksi supistetaan, jos voidaan. (Supistaa voi jo tekijöitäkin!) 4. Jakolasku Jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Jatko kuten edellä 3:ssa E.4. Laske E.3. a)Laske b)

5. Yhteenlasku Murtolukuja saa laskea yhteen ja vähentää, kun niillä on sama nimittäjä. Tarvittaessa lavennetaan. Tällöin osoittajaksi tulee osoittajien summa (erotus) ja nimittäjäksi yhteinen nimittäjä E.5. a)Laske

MAA0 Laskulait Vaihdantalait a + b = b + a ab = ba Liitäntälait (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) Osittelulaki a(b + c) =ab + ac 2(3x+1) = 2∙3x + 2∙1 =6x + 2 Tulon nollasääntö ab = 0, jos ja vain jos a = 0 tai b = 0  MAA0

MAA0 Vastaluku Luvun a vastaluku on -a Vastalukujen summa on nolla: Käänteisluku Luvun a käänteisluku on 1/a (a0) Käänteislukujen tulo on yksi: a ∙ 1/a = 1, a  0 MAA0 Esimerkki 4 Määritä a) Luvun -8 vastaluku b) 2/3 käänteisluku a) 8, sillä -8 + 8 = 0. Siis -(-8) = 8 b) 3/2, sillä

MAA0 Vastaluvun ominaisuuksia -(-a) = a -(a + b) = -a - b a(-b) = (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab a(b - c) = ab - ac MAA0 Esimerkki 5 a) 2 * (-4) *(-5) = 40 b) 6(2x - 4) = 12x - 24 c) (-2)4 = 16 d) (-2)5 = -32

MAA0 Likiarvot Merkitseviä numeroita Kaikki muut paitsi desimaaliluvun alussa olevat nollat Kokonaisluvun lopussa olevien nollien merkitsevyys riippuu asiayhteydestä MAA0 Esimerkki 6 Kuinka monta merkitsevää numeroa on a) 2001 4 b) 0,0023 2 c) 32 000 2 / 5, esimerkiksi asukasluku / pankkilaina

MAA0 Laskeminen likiarvoilla Tulos ilmoitetaan niin monen merkitsevän numeron tarkkuudella kuin niitä on epätarkimmassa lähtöarvossa Jos kyse ainoastaan yhteen- tai vähennyslaskusta, vastaus ilmoitetaan niin monen desimaalin tarkkuudella kuin niitä on epätarkimmassa lähtöarvossa Esimerkki 7 Likiarvoille a) 1,03 * 2,5 = 2,575  2,6 b) 2,30 + 120,1  122,4

1.2.3. Itseisarvo *luvun etäisyys nollasta Siis positiivisen luvun itseisarvo on luku itse negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku nollan itseisarvo on nolla

E.1 a) = 4 b) = 4 c) sillä on negatiivinen

PROSENTTILASKUJA 1) p% luvusta a PROSENTTI PROMILLE 1 % = = 0,01 1 % = = 0,01 1 ‰ = = 0,001 1) p% luvusta a

Esimerkki 1 Pesuaineessa on 8 % fosforia? Kuinka paljon sitä on 1500 grammassa? tai Muunnetaan p% desimaaliluvuksi Kerrotaan luku a tällä desimaaliluvulla 0,08 * 1500 g = 120 g

MAA0 2) Kuinka monta prosenttia luku a on luvusta b Esimerkki 2 Kuinka monta prosenttia 5 on luvusta 200? = 2,5 % tai muunnetaan prosenteiksi = 2,5 %

MAA0 3) p% lukua a suurempi luku Esimerkki 3 Mikä luku on 4 % suurempi kuin 25? 1,04 * 25 = 26

MAA0 4) p% lukua a pienempi luku Esimerkki 4 Mikä luku on 4 % pienempi kuin 25? 0,96 * 25 = 24

MAA0 5) Kuinka monta prosenttia luku a on suurempi kuin luku b a>b>0 Esimerkki 5 Kuinka monta prosenttia luku 15 on suurempi kuin 12? 15-12 = 3

MAA0 6) Kuinka monta prosenttia luku b on pienempi kuin luku a a>b>0 Esimerkki 6 Kuinka monta prosenttia luku 12 on pienempi kuin 15? 15-12 = 3

MAA0 Esimerkki 7 Vaaleissa erästä puoluetta kannatti 12 % Edellisellä kerralla kannatus oli ollut 8 %. Kuinka monta prosenttiyksikköä kannatus oli muuttunut? 12- 8 = 4 4 prosenttiyksikköä

Esimerkki 8. Korko 4,5 % Kuinka suuri talletuksen on oltava, jotta korko olisi 180 € vuodessa? x = talletuksen määrä 0,045 * x = 180 :0,045 x = 4000 V: 4000 € MAA0

MAA0 Kirjan esimerkki Lääkeliuoksen väkevyys 10%. Litra liuosta Kuinka paljon vettä on lisättävä, jotta saadun liuoksen väkevyys 4 % MAA0 x = lisättävän veden määrä Liuos Väkevyys Määrä (l) Lääkkeen määrä Vanha 10 % 1 0,1 Uusi 4 % 1+x 0,04(1+x) 0,04(1+x) = 0,1 0,04 + 0,04x = 0,1 0,04x = 0,1-0,04 0,04x = 0,06 | :0,04 x = 1,5 (l)

MAA0 Kirjan esimerkki Työntekijöiden palkkoja korotettiin 10 % Tämän jälkeen palkkoja alennettiin 10 % Työntekijöiden alkuperäinen palkka = 100a I: 1,1* 100a = 110a II: 0,9 * 110a = 99a Tämä on 99 % alkuperäisestä palkasta, joten palkka ei ole sama kuin alussa vaan 1 % pienempi (10 % otettiin eri luvuista!!!!!) MAA0

MAA0 Suoraan verrannollisuus * Suureiden suhde pysyy vakiona ts. suureet muuttuvat samassa suhteessa x y x1 y1 x2 y2 kerrotaan ristiin x1y2 = x2y2 Jos muuttujat y ja x suoraan verrannollisia, niin y = kx (k = verrannollisuuskerroin) kuvaaja origon kautta kulkeva suora

Esimerkki 1 Ratkaise verranto MAA0 2x = 3*5 2x = 15 |:2 x = 7½

MAA0 Esimerkki 2 15 kg porkkanoita maksaa 34,50 mk. a) Kuinka paljon maksaa 11 kg porkkanoita b) Muodosta porkkanoiden määrän x ja hinnan y välinen yhtälö a) b) 15 11 34,50 y 15 x 34,50 y = = 15y = 34,50x |:15 y = 2,3x 15y = 11 *34,50 15y = 379,50  :15 y = 25,30 V: 25,30 mk

Esimerkki 3 Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Auto pysähtyi nopeudesta 80 km/h 35 metrin matkalla. Kuinka pitkä jarrutusmatka vähintään tarvitaan pysäyttämään nopeudesta 50 km/h? MAA0 802x = 502 *35 6400x = 87500 |:6400 x 14 V: 14 m

MAA0 Kääntäen verrannollisuus * Suureet muuttuvat käänteisessä suhteessa * Suureiden tulo pysyy vakiona x y x1 y1 x2 y2 ELI x1y1 =x2y2 Jos muuttujat x ja y ovat kääntäen verrannollisia, niin y = (k = verrannollisuuskerroin) kuvaaja hyperbeli

MAA0 Esimerkki 4 Viisi maalaria maalasi talon seitsemässä tunnissa. Kuinka monta maalaria tarvitaan, jotta työ valmistuisi kahdessa tunnissa? Työn kesto (h) maalareiden lukumäärä 7 5 2 x 7 2 x 5 2x = 35 :2 x = 17,5 V: 18 maalaria =

MAA0 POTENSSIT eksponentti kantaluku an = a ·a · · · ·a nZ+ n kpl Esim 1a) 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. b) (-2)4 = (-2) ·(-2) ·(-2) ·(-2) = 16 c) -24 = -(2 · 2 · 2 ·2) = -16 d) (-2)3 = -2 · (-2) ·(-2) = -8 e) 31 = 3 f) 05 = 0

MAA0 POTENSSIN LASKUSÄÄNTÖJÄ Esimerkki 2 1) am ∙ an = am+n a) x3 · x2 3) (ab)n = an bn c) (2x)3 = 23x3 = 8x3 5) (am)n = amn e) (x3)4 = x12

MAA0 Esimerkki 3 = 6x2 Käytetään kaavaa (ab)n = an bn käänteiseen suuntaan c) 0,01999 · 100999 =(0,01 · 100)999 =1999 = 1 = x9-7 = x2

MAA0 Nollas ja negatiivinen potenssi a0 = 1, a  0 siis 00 ei ole määritelty

Esimerkki 4 a) 50 = 1 b) 2-3 MAA0 Eli kun luku korotetaan potenssiin -1, niin saadaan luvun käänteisluku c) 4-1 Kun eksponentti on 0 tai negatiivinen, niin potenssin laskulait säilyvät

MAA0 Kymmenpotenssimuoto Kerroin on ykkösen ja kymmenen välillä sekä eksponentti kokonaisluku a·10n, missä 1a10 ja nZ Tarkista laskin 290  1,24 ·1027 2-90  8,08 ·10-28 32 000 000 000 000 / 16 000 000 000 = 2000 3,2 EXP 13 / 1,6 EXP 10 3,2 x 1013 / 1,6x1010 Esimerkki 1 a) 320 000 000 000 = 3,2 · 1011 b) 0,000 000 232 = 2,32 · 10-7

MAA0 Neliöjuuri Luvun a neliöjuuri: Juurrettava a ei saa olla negatiivinen

MAA0 Esimerkki 1 Laske neliön sivun pituus. a) b) A=14,6m2 A=9m2 = 0,3 4 0 42 = 16 Ei ratkaisua reaalilukujen joukossa

MAA0 Esimerkki Tutki neliöjuuren määritelmän avulla, onko i) 1234 0 ii) 12342 = 1522756  1522766 Vastaus: ei ole

Yhtälö x2 = a x2 = a MAA0 Jos a < 0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua Jos a=0, niin yhtälön ratkaisu on x=0

MAA0 Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö a) x2 = 9 c) 4x2 + 16 = 0  ei ratkaisua reaalilukujoukossa  x = 3 b) x2 - 121 = 0  x2=121  x = 11

Esimerkki 3 Ratkaise yhtälö MAA0 | :2 x = 62 x = 36

MAA0 Kuutio ja kuutiojuuri Luvun a kuutiojuuri: Huom. Juurrettava voi olla myös negatiivinen Siis luvun a kuutiojuuri on se luku, jonka kolmas potenssi eli kuutio on a

Esimerkki 1 23 = 8 (-3)3 = -27

Yhtälö x3 = a x3 = a Esimerkki 2 27x3 = -1 | :27

Kuutiojuuren laskusääntöjä MAA0 1. 2. 3. 4.

Esimerkki 3 Sievennä MAA0 =2 = 4

MAA0 Muut juuret Parilliset juuret luetaan: n:s juuri a:sta tarkoittaa yhtälön xn = a ei negatiivista ratkaisua Parittomat juuret tarkoittaa yhtälön xn = a ratkaisua

MAA0 Esimerkki 4 = -2, ei määritelty = 2, sillä sillä 25 = -32 24 = 16 ja 2  0

MAA0 Yleinen potenssi Murtopotenssi Huom. Murtopotenssit vain ei-negatiivisille kantaluvuille Murtopotenssi

Esimerkki 1 Esitä murtopotenssina MAA0 Esimerkki 2 Esitä juurena

MAA0 Esimerkki 3 Kirjoita luvun 2 potenssina Laske Esitä a:n potenssina =33 =27

MAA0 Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö -2(x - 1) = x - 1 -2x +2 = x - 1

MAA0 Nimittäjien poistaminen *) |  6 Tarkistus sijoitetaan x = 5 *) vasen puoli = 3 - 9 = -6 oikea puoli = -5 - 1 = -6 2(2x - 1) - 3(4x -2) = -6x - 6 4x - 2 - 12x + 6 = -6x - 6 4x - 12x + 6x = -6 + 2 - 6 -2x = -10 | : (-2) x = 5

MAA0 Onglmanratkaisu yhtälöllä Esimerkki Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 1998. Mikä on suurin luvuista? Luvut: x x+1, x+2 x + (x+1) + (x+2) = 1998 3x + 3 = 1998 3x = 1998 - 3 3x = 1995 | :3 x = 665 Suurin luvuista: 665 + 2 = 667

Lineaarinen yhtälö ax = b, a = 0 jos a = 0, niin ratkaisuja ovat kaikki reaaliluvut tai yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua Esimerkki 1 Osoita, että yhtälö x(x+1) -x2 = x toteutuu kaikilla x:n arvoilla eli on identtisesti tosi x(x+1) - x2 = x x2 + x -x2 = x x - x = 0 0x = 0 0 = 0

Esimerkki 2 Osoita, että yhtälö x(x+1) -x2 = x + 1 ei toteudu millään x:n arvolla eli on identtisesti epätosi x(x+1) - x2 = x + 1 x2 + x -x2 = x + 1 x - x = 1 0x = 1 0 = 1

a) x2 +4 x = 3 x= -3 a) 32 + 4 (-3)2 + 4 = 9 + 4 = 13 =9 + 4 = 13 b) -x2 + 4x b) -32 + 4*3 -(-3)2 + 4*(-3) = -9 + 12 = 3 = -9 - 12 = -21