Robust LQR Control for PWM Converters: An LMI Approach Matti Paakkinen Heikki Järvisalo

Boost-hakkuri Oletuksia -Hakkuri on jatkuvasti johtavassa tilassa (continuous conductive mode, CCM). Kelan virta ei ole saturoitunut. Resistanssit RC ja RL ovat riittävän pieniä, jotta ne voidaan jättää huomiotta.

PWM:n keskiarvoistettu tilamalli Keskiarvoistetun boost-hakkurin tilamatriisit ja –vektorit Huom. Keskiarvoistettu systeemi on lineaarinen D’d on pulssisuhteen komplementti eli

Jatkuvuustilassa kondensaattorin yli olevan jännitteen virhe on tasapainopisteessä (nollassa) ja siten ajan suhteen integroituna nolla, jolloin saadaan systeemin linearisoitu malli muotoon Koska hakkurin säätö tapahtuu tasapainopisteen läheisyydessä, voidaan epälineaarinen osa jättää huomiotta. Tällöin A ja B matriisit ovat muotoa Tarkastelupisteen läheisyydessä R ja D’d ovat epävarmoja termejä. Koska matriisit A ja B eivät riipu näistä termeistä, määritellään näistä riippuvat epävarmat muuttujat

Huomioitavia asioita luodusta mallista Edellä olevat muuttujat kuvaavat relaksaatiota epävarmuustekijöiden rajoitteissa. Muuttujat oletetaan olevan toisistaan riippumattomia, jotta saadaan systeemille lineaarinen käyttäytyminen. Uusi malli käsittää dynaamisia vasteita, jotka eivät vastaa mitään todellista sovellusta. Tästä syystä saatu tulokseen on syytä suhtautua varauksella.

Varsinainen säätö Stabiilisuuden tarkastelu Lyapunovin menetelmällä Aikainvariantti systeemi Lyapunovin funktio Jonka derivaatta Koska derivaatan on oltava positiivista, täytyy P-matriisin olla positiivinen. Lisäksi sen täytyy täyttää ehto sekä kytkimen ollessa auki että suljettuna.

Robusti LQR-säätö (linear quadratic regulator) Optimaali LQR säädin saadaan käyttämällä sellaista tilatakaisinkytkentäkerrointa, joka minimoi kustannusfunktion Missä Qw on symmetrinen ja semidefiniitisti positiivinen matriisi ja Rw on symmetrinen ja definiitisti positiivinen matriisi Josta saadaan Niin sanotulla trace-operaattorilla päästään eroon integraalista Trace-operaattorin määritelmän yhtälö Missä P on symmetrinen positiivisesti definiitti matriisi

Minivoiva takaisinkytkentäkerroin voidaan laskea yhtälöstä Missä Y=KP Muuttujan Y määrittäminen on välttämätöntä, jotta saadaan lineaarisuus aikaiseksi Samalla täytyy toteutua Koska taas päädyttiin epälineaariseen systeemiin, määritellään uusi muuttuja X. Schur’n komplementin avulla saadaan Schur’n komplementti Nyt saadaan ongelman ratkaisu muotoon Ratkaisemalla yhtälö, saadaan optimaalinen takaisinkytkentäkerroin LQR-järjestelmälle

Numeerinen ratkaisu Parametri Arvo R [10,50] Ω Vg 12 V D´d [0.3,0.7] C 200 μF δ [1.42,3.33] L 100 μH β [0.04,1.11] Ts 2.5 μs Vref 24 V

Jotta saadaan integroiva osuus pakotettua toteutumaan ja siten järjestelmän väre pidettyä alle 5 %:ssa, valitaan painokerroinmatriiseiksi Matlabilla saadaan tällöin tavallisella LQR menetelmällä, joka ei huomioi epävarmoja tekijöitä Ja robustilla menetelmällä Huomionarvoista on, että muuta eroa ei juurikaan ole havaittavissa näiden kahden menetelmän välillä, paitsi että jälkimmäinen takaa robustisuuden.

Säädetyn boost-hakkurin simulointi

Säätäjän kytkentäkaavio

Simulointituloksia 0,48A askelmainen muutos kuormavirrassa D´d=0,50

Simulointituloksia 1,44A askelmainen muutos kuormavirrassa D´d=0,50

Mittaustuloksia 1,44A askelmainen muutos kuormavirrassa D´d=0,50

Mittaustuloksia ±40% muutos tulojännitteessä