Standardimenetelmät markkinariskien mallintamiseen Elina Lepomäki 14.9.2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Yhteenveto Rahoitusmarkkinoilla käytetään erilaisia menetelmiä markkinariskin mittaamiseen lyhyellä aikavälillä Ongelma yhtenevä tappiojakauman mallintamisen kanssa Missä on vektori riskitekijöiden muutoksista ajanhetkestä t ajanhetkeen t+1 ja on portfolion tappio-operaattori ajanhetkellä t Riskimittarit Value-At-Risk (VaR) ja odotettu vaje (expected shortfall) Riskien mittaamisessa on olennaista käytetäänkö ehdollistamatonta vai ehdollista tappiojakaumaa Menetelmät: Varianssi-kovarianssi, historiallinen simulaatio, Monte Carlo, Usean periodin tappiot ja skaalaus Näiden yhteydessä usein sovellettu ennustekyvyn testaus (backtesting)

Varianssi-kovarianssi Oletus. Riskimuuttujien muutokset noudattavat monimuuttujaista normaalijakaumaa Missä μ on keskiarvo-vektori ja Σ kovarianssimatriisi Oletus. Lineaarinen tappio riskitekijöiden osalta on riittävän tarkka approksimaatio todellisesta tappiosta Lineaarinen tappio-operaattori Missä on vakio ja vakiovektori Yleisistä lineaarikombinaatioiden keskiarvoa ja varianssia koskevista säännöistä saadaan Tästä tappiojakaumasta on helppo laskea VaR ja odotettu vaje Menetelmän hyvät ja huonot puolet Yksinkertainen analyyttinen ratkaisu Linearisaatio ei tarpeeksi hyvä approksimaatio tappiojakauman ja riskitekijöiden muutosten suhteesta Normaalisuusoletus ei välttämättä realistinen riskitekijöiden muutoksille, etenkään päivätasolla

Historiallinen simulaatio (1/2) Sen sijaan että estimoidaan tappiojakaumaa parametrimallin avulla, tappiojakaumaa haetaan riskitekijän historiallisen (empiirisen) jakauman avulla Muodostetaan yhden muuttujan datajoukko: lisätään tappio-operaattori jokaiseen riskimuuttujien muutosvektorin historialliseen havaintoon :n arvot kertovat mitä nykyiselle portfoliolle tapahtuu mikäli päivän s riskitekijämuutokset toistuvat Ehdollistamaton menetelmä Jos oletetaan, että riskitekijöiden muutokset ovat stationäärisiä jakaumafunktiolla Fx, silloin datan empiirinen jakaumafunktio on Fx:n konsistentti estimaattori Tällöin tappioiden jakaumafunktio on tappio-operaattoreiden konsistentti estimaattori Fx:ssä

Historiallinen simulaatio (2/2) Käytännössä esimerkiksi VaR estimoidaan empiirisellä kvantiili-menetelmällä jossa tappiojakauman teoreettisia kvantiileja estimoidaan datan kvantiiliotoksilla Merkitään datan järjestetyt alkiot Tällöin :n mahdollinen estimaattori on , missä [n(1-α)] merkitsee suurinta n(1-α) pienempää kokonaislukua Esimerkki: n=1000, α=0.99, VaR estimoidaan ottamalla 10:ksi suurin arvo Menetelmän hyvät ja huonot puolet Helppo ottaa käyttöön, redusoi riskimittarin estimoinnin yksiulotteiseksi ongelmaksi; ei tarvita X:n monimuuttujajakauman estimointia eikä riskimuuttujien riippuvuuksista tarvita oletuksia Vaikeuksia voi olla löytää tarpeeksi historiallista dataa Ehdollistamaton menetelmä: ehdollinen menetelmä yleensä sopivampi päivittäisen markkinariskin hallintaan

Monte Carlo Simuloidaan eksplisiittinen parametrimalli riskitekijän muutoksille 1. askel: mallin valinta ja sen kalibrointi historialliseen dataan 2. askel: generoidaan m riippumatonta riskitekijän muutostoteumaa Historiallisen simulaatiomenetelmän tavoin tappio-operaattori liitetään simuloituihin vektoreihin, jotta saadaan simuloidut toteumat tappiojakaumasta Menetelmän hyvät ja huonot puolet Historiallisen simulaatiomenetelmään verrattuna voidaan simuloida enemmän mahdollisia toteutumia m kuin mikä oli alkuperäisen historiallisen datan lukumäärä n Ei ratkaise ongelmaa löytää monimuuttujainen jakauma :lle Kaikki saadut tulokset ovat korkeintaan yhtä hyviä kuin malli jota käytetään Markkinariskien yhteydessä jokin dynaaminen malli on yleensä toimivin (lisäksi GARCH ja esimerkiksi jokin paksuhäntäinen monen muuttujan ehdollinen jakauma) Suurille portfoliolle Monte Carlosta aiheutuva laskentatkustannus voi olla liian raskas

Usean periodin tappiot ja skaalaus (1/2) Toistaiseksi käsitelty yhden periodin tappiojakaumia ja niiden riskimittareita Tarve on kuitenkin mallintaa myös pidemmän aikavälin muutoksia Skaalaus: yksinkertaiset säännöt yhden periodin riskimittareiden muuntamiselle h-periodisiksi (h>1) Merkitään tappio h periodin yli :lla Missä on tappio-operaattori h periodille ajanhetkellä t Kysymys kuuluu miten :lle käytetyt riskimittarit skaalautuvat h:n mukana Vastaus ei ole yksinkertainen paitsi erikoistapauksissa H-periodillinen tappio-operaattori eroaa yksiperiodillisesta silloin kun siirtymä riippuu eksplisiittisesti ajasta (esim. johdannaisportfoliot)

Usean periodin tappiot ja skaalaus (2/2) Esimerkki. Ajan neliöjuuri –skaalaus Jakauman kvantiilit sekä odotetut vajeet skaalautuvat alemmalle frekvenssille ajan neliöjuuren mukaan Skaalaussääntöä käytetään paljon, etenkin varianssi-kovarianssi-menetelmän yhteydessä Empiirinen data ei kuitenkaan tue riskitekijöiden muutosten normaaliutta tai oletusta riippumattomista ja identtisesti jakautuneista muuttujista (iid) Vaikka rahoitusriskitekijöiden muutokset ovatkin usein (vähäisesti) korreloituneita, niin niiden volatiliteetti ei ole vakio. Jälkimmäinen havainto on ristiriidassa iid-oletuksen kanssa Järkevämpien mallien aikaansaamiseksi kaivataan dynaamisia aikasarjamalleja esim. GARCH Myös Monte Carlo –menetelmää käytetään usein h-periodillisen tappiojakauman riskimittareiden selvittämiseen (Dynaaminen malli) Simuloidaan riskimuuttujaprosessin tulevaisuuden polkuja Lisätään h-periodillinen tappio-operaattori dataan Monte Carlo –simuloituja tappioita käytetään tilastollisten päätelmien tekemiseen tappiojakaumasta ja siihen liittyvistä riskimittareista

Backtesting Edellä esitettyjä menetelmiä voi vertailla kehityksen tiedon valossa Ajanhetkellä t tehdään VaR- ja odotettu vaje –estimaatit (ES) yhdelle sekä h periodille Ajanhetkellä t+1 ja t+h voidaan selvittää mitä todellisuudessa tapahtui Todennäköisyys VaR:n rikkeelle (violation), seuraa määritelmästä Indikaattorit VaR-estimaattien rikkeestä Mikäli estimointimenetelmät ovat järkeviä, indikaattorit käyttäytyvät kuin satunnaiset Bernoulli-muuttujat joilla erotus (rike)

Kotitehtävä Valitse kaksi riskitekijää A ja B joista sinulla on saatavilla n havainnon historiallinen aikasarja (esim. jonkin osakkeen tai hyödykkeen hinta) ja kalibroi näihin sopivat parametrimallit Oleta salkku, jossa 50% riskitekijää A ja 50% riskitekijää B Simuloi mallin avulla m toteumaa salkun arvosta (m > n) Laske salkun tappiojakauma ja valitsemasi riskimittarit Dokumentoi askeleet kaavioin ja R-komennoin