4. Lineaarinen optimointi

Yleistä Optimoinnissa pyritään löytämään joko maksimi tai minimiarvo. Aikaisemmin on perehdytty rajoittamattomaan optimointiin ja minimin hakuun käyttäen Newtonin menetelmää. On mahdollista asettaa ns. rajoiteyhtälöitä, ja tilanteesta riippuen nämä ovat joko lineaarisia tai epälineaarisia. T051403

Seuraavassa epälineaarisiin optimointitehtäviin ei puututa, mutta tarkastellaan lineaarista optimointitehtävää. Käytännön ratkaisun kannalta on tärkeää, että ongelma voidaan saattaa matemaattiseen muotoon, jossa kohdefunktiolle l. objektiivifunktiolle haetaan joko maksimi- tai minimiarvoa. T051403

Lineaarinen optimointi Jos sekä kohdefunktio että rajoitteet ovat lineaarisia, on kyseessä lineaarisen optimoinnin tehtävä (Linear Programming). Kun optimointitehtävässä on vain kaksi muuttujaa, ongelmaa voidaan havainnollistaa helposti xy-koordinaatistossa. T051403

Simplex-algoritmin matriisimuodon käsittely sivuutetaan. Kun muuttujia on useita, ei havainnollistusta voida tehdä. Tehtävän ratkaisuun tarvitaan ns. Simplex-algoritmi, jonka eräs muoto voidaan esittää ns. Simplex-taulujen avulla (tableaus). Simplex-algoritmin matriisimuodon käsittely sivuutetaan. Seuraavan yksinkertaisen ongelman avulla on helppo kuvat lineaariseen optimointiin liittyviä peruskäsitteitä. T051403

Esimerkki. min -3x1 – x2 ehdoilla x1 – 2x2 ≤ 4 2x1 + x2 ≤ 18 x2 ≤ 10 T051403

x on ratkaisu, jos se toteuttaa standardimuotoisen tehtävän. Jokaista epäyhtälöä vastaa tietty puoliavaruus. Käypä joukko on rajoite-epäyhtälöiden muodostama joukko, jossa kaikki ehdot toteutuvat. x on ratkaisu, jos se toteuttaa standardimuotoisen tehtävän. x on käypä ratkaisu, jos edellisen lisäksi x ≥ 0. x on optimaalinen käypä ratkaisu, jos se edellisten lisäksi minimoi kustannusfunktion. T051403

Optimointitehtävässä pyritään löytämään optimaalista ratkaisua, joka saavutetaan tiettyjen ehtojen vallitessa. Matemaattisesti voidaan osoittaa, että LP-ongelman optimiratkaisu löytyy käyvän joukon reunapisteistä. Itseasiassa riittää määrittää käyvän joukon ääripisteet (eli 2 ul. tehtävissä nurkkapisteet) T051403

Katsotaan vielä esimerkki Maplen help-sivustolta. Monissa yksinkertaisissa käsin laskettavissa tehtävissä viimeisen esimerkin tapa käsitellä on havainnollinen, kun muuttujia on vain kaksi ja rajoitteita sopivan vähän. Siksi pyritään tehtävien ratkaisuun matriisien avulla. T051403

LP-optimointitehtävät voidaan esittää standardimuodossa subject to T051403

Now matrix A is size m x n and vectors

Now the standard form of the LP-problem can be stated as min cTx subject to Ax = b x ≥ 0 T051403

Usein käytännössä rajoiteyhtälöiden sijasta ainakin osa on epäyhtälömuotoisia, ja ne muutetaan käsinlaskennassa yhtälömuotoisiksi. Maplella laskettaessa riittää esittää vain tehtävän vaatima matriisimuoto. T051403

T051403

T051403

Tällöin joko lisäämällä pelivara (slack) - tai ylijäämämuuttujia(surplus), muutetaan tehtävä standardimuotoon. Tarkastellaan ensin tilannetta, jossa rajoite-epäyhtälöt ovat tyyppiä ≤. T051403

T051403

jolloin päästään käsittelemään standardimuotoista tehtävää. Kaikki epäyhtälöt muutetaan pelivara- eli slack-muuttujien avulla (yj ≥ 0), j = 1, …, m muotoon jolloin päästään käsittelemään standardimuotoista tehtävää. T051403

Tarkastellaan seuraavaksi tehtävää

Tämä on siis jälleen standardimuotoinen esitys. Ottamalla käyttöön pelivara- l. surplus -muuttujat (wj ≥ 0), j = 1, …, m, saadaan kukin epäyhtälöistä esitettyä muodossa Tämä on siis jälleen standardimuotoinen esitys. T051403

Käytännössä harvat tehtävät ovat puhtaasti jommankumman tyyppisiä epäyhtälömuotoisia rajoitteita sisältäviä, vaan samassa tehtävässä esiintyy molemmanlaisia rajoitteita ja lisäksi osa rajoitteista voi olla myös suoraan yhtälömuotoisia. T051403

Simplex-algoritmi taulukoiden avulla 1. Etsi rivin z eniten negatiivinen alkio, ja olkoon se ci. Jos kaikki ci ≥ 0 algoritmi päättyy. 2. Laske tarkistettavan sarakkeen alkioille aki >0 jaokset bi/aki 1 ≤ k ≤ m. Valitse näistä luvuista pienin ja sitä vastaava indeksi j T051403

3. Korvaa xn+j muuttujalla xi vasemmassa sarakkeessa . 4. Rivillä j korvaa 5. Suorita eliminointiaskel niin, että kaikki sarakkeen i alkiot nollautuvat. 6. Palaa kohtaan 1. T051403

Esimerkki. Ratkaise LP-tehtävä max 5x1 + 9x2 ehdoilla 3x1 + 4x2 ≤ 2400

1. Määrittele pelivara- ja ylijäämämuuttujat. Algoritmi 2. Vaihe I. 1. Määrittele pelivara- ja ylijäämämuuttujat. 2. Ota mukaan keinotekoiset muuttujat liittyen ylijäämämuuttujiin. 3. Aseta keinoteeoisten muuttujien avulla keinotekoinen kohdefunktio z~. 4. Vähennä keinotekoisia muuttujia sisältävät rivit keinotekoisen kohdefunktiosta z~. T051403

5. Sovelletaan algoritmia I kunnes z~ =0 ja keinotekoiset muuttujat ovat poistuneet ensimmäisestä sarakkesta. Vaihe II 1. Poista taulukosta rivi z~ ja keinotekoisia muuttujia vastaavat sarakkeet. 2. Sovella algoritmia I. T051403

Esimerkki. Ratkaise LP-tehtävä max 5x1 + 9x2 ehdoilla -x1 + 2x2 ≤ 6

Ratkaisualgoritmeista Yksi suosituimpia on Simplex-algoritmi, jollaisen saa ainakin vielä simplex-paketilla havainnollistettua. LPSolve-komento käyttää ns. branch and bound tekniikkaa. Matriisimuotoinen esitys on laskennallisesti tehokas. T051403

Tarkastellaan esimerkkiä.

Aeq:=Matrix([[1,2,3,-1,1,0],[2,1,1,0,0,1]]); beq:=Vector([2,5]); c:=Vector([4,0.5,1,0,0,0]); Aeq:=Matrix([[1,2,3,-1,1,0],[2,1,1,0,0,1]]); beq:=Vector([2,5]); LPSolve(c, [NoUserValue, NoUserValue, Aeq, beq],assume = nonnegative,maximize); T051403