Elliptiset jakaumat Esitys 6 kpl Tuomas Nikoskinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Päivän teemat Pallosymmetriset jakaumat –Johdantona elliptisille jakaumille Elliptiset jakaumat Elliptisyyden testaaminen

Pallosymmetria JakaumaTasa-arvokäyriä

Pallosymmetria Määritelmiä 1 Satunnaisvektori pallosymmetrisesti jakautunut 1.Olemassa karakteristinen generaattori ja merkitään 2.Lineaarikombinaatiot myös pallosymmetrisiä 3.Tiheysfunktio muotoa

Pallosymmetria Määritelmiä 2 Jos X pallosymmetrinen, se voidaan esittää myös –S tasajakautunut yksikköympyrälle –R radiaalinen satunnaismuuttuja (säteen pituus) –R ja S riippumattomia toisistaan Oletetaan, silloin –Pohjana myöhemmin elliptisyyden numeeriselle testaamiselle

Pallosymmetriasta elliptisyyteen Affiinimuunnos Y u + AY

Pallosymmetriasta elliptisyyteen

Elliptiset jakaumat Formaalisti elliptisesti jakautunut, jos Karakteristinen funktio merkintä tapa

Elliptiset jakaumat Muistetaan, jolloin (1) –S tasajakautunut yksikköympyrälle –R radiaalinen satunnaismuuttuja Ratkaisemalla yhtälöstä (1) –Elliptisyyden testaaminen pallosymmetrian avulla –Yleinen tiheysfunktion muoto elliptiselle

Elliptiset jakaumat Elliptiselle : Pallosymmetrisesti jakautuneen tiheysfunktio muotoa Yleinen muoto elliptisen jakauman tiheysfunktiolle

Data elliptistä? Onko havaittu data X elliptistä? –Tarvitaan estimaattorit, ja –Testataan

Elliptiset jakaumat Parametrien estimointi: M-estimaattorit Yksinkertainen iteratiivinen prosessi, tuloksena robustit estimaattorit ja Jokaiselle havainnolle Xi lasketaan suure Estimaattoreiden päivitys painotettuna otoskeskiarvona ja kovarianssimatriisina –Painot ja pienentävät suuren arvon saaneiden havaintojen merkitystä

Elliptiset jakaumat Parametrien estimointi: Kendall’s tau Keino estimoida korrelaatio kahden satunnaismuuttujan välille –Tämä muoto elliptisesti jakautuneille – teoreettinen korrelaatio, joka voidaan laskea standardi estimaattorilla (kirja 5.50) Muunnetaan kovarianssimatriisiksi esim.

Elliptiset jakaumat Estimaattoreiden robustisuus - esimerkki Elliptisestä 2 muuttujan t-jakaumasta estimoitu korrelaatiota, (kirja ex. 3.31)

Elliptisyyden testaaminen Onko data kun on estimoitu ja 3 lähestymistapaa 1.Vakio korrelaatio 2.Kvantiili-Kvantiili tarkastelu 3.Numeerinen testaus

Estimoidaan korrelaatio annettuna ellipsi Jos data elliptistä, korrelaation tulisi pysyä vakiona c arvoa kasvatettaessa ”Elliptiset tasa-arvokäyrät samanmuotoiset, vain skaala muuttuu” Tulokset tulkitaan graafisesti piirtämällä korrelaatioestimaatti määrätyn ellipsin ulkopuolelle jääneiden pisteiden funktiona Elliptisyyden testaaminen Vakio korrelaatio

Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä Toteutetaan vertaamalla testisuureen T(Y) ja Y:n kvantiili-kvantiili kuvaajaa (QQplot) Kun, voidaan T(Y) valita esim s.e. Tästä helppo laskea teoreettiset kvantiilit ja verrata niitä empiiriisiin datasta laskeuttuihin Elliptisyyden testaaminen Kvantiili-Kvantiili

Elliptisyyden testaaminen Numeerinen testaus Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä Merkitään ja ja selvitetään 1.Onko S tasajakautunut yksikköympyrälle? Kolmogorov-Smirnov test 2.Ovat R ja S riippumattomia? Spearman’s rank correlation coefficient Jos vastaus yllä oleviin kysymyksiin 1 ja 2 on kyllä, data on elliptisesti jakautunut

Kotitehtävä Onko havaittu data elliptisesti jakautunut? Generoi elliptisesti jakautunut 2 ulotteinen datajoukko X –(esim. t-jakaumasta, ks. ?rmt) Estimoi ja (tyyli vapaa) Ota X:stä muunnos Y (ks. kalvo 18) Testaa X:n elliptisyys (siis Y:n pallosymmetrisyys) numeerisesti –Kalvon 18:n testi Raportoi käyttämäsi koodi ja sopivat kuvaajat HUOM! R:ssä matriisi potenssi hankala, lataa paketti ”expm”, jolle: %^% ottaa matriisi potenssin