2.3.1. Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio: Siis an+1 – an = d (vakio) Jonon yleinen termi: an = a + (n - 1)d missä a = jonon ensimmäinen termi d = erotusluku Aritmeettisen jonon ratkaiseminen Lasketaan kaavan an = a + (n - 1)d yhtälöstä kysytyn suureen (an, a, n tai d) arvo TAI ratkaistaan a ja d eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla, sillä aritmeettinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja d.

E.2. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1, … on aritmeettinen E.1. Mikä on aritmeettisen jonon 2, 5, 8, … sadas termi a = 2 d = 5 - 2 =3 a100 = 2 + (100 - 1)3 = 299 E.2. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1, … on aritmeettinen (x – 2) – x = (2x – 1) – (x – 2) -2 = x + 1 x = -3

E.3. Luku 10 on aritmeettisen jonon …, 8, 10, … kahdeksas termi. Mikä on ensimmäinen termi? a8 = 10 a + (8-1)  2 = 10 a = -4 E.4. Monesko termi on aritmeettisessa jonossa 1, 4, 7, … luku 1000? a = 1 d = 4 – 1 = 3 1 + (n – 1)3 = 1000 1 + 3n – 3 = 1000 3n = 1002 n = 334 an = a + (n - 1)d

E.5. Aritmeettisen jonon kolmas termi on 12 ja yhdeksäs 30. Määritä jonon 10. termi. a3 = a + (3 – 1)  d a9 = a + (9 – 1)  d 6d = 18 d = 3 a = 6 a10 = 6 + (10-1)  3 = 33 an = a + (n - 1)d

2.3.3. Aritmeettinen summa = summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon: Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = missä (ak) on päättyvä aritmeettinen jono

Onko summa aritmeettinen 7 + 3 + (-1) + (-5) + (-9) ks. esimerkit 1 & 2 s. 94 - 95 EI KIRJOITETA Onko summa aritmeettinen 7 + 3 + (-1) + (-5) + (-9) 2 + 4 + 7 + 11 + 16 ak+1 – ak = (4(k+1) – 3 ) – (4k – 3) = 4k + 4 – 3 – 4k + 3 = 4 on, k:stä riippumaton

Aritmeettisen summan kaava Sn = missä a1 = ensimmäinen termi an = viimeinen termi n = termien lukumäärä

E.6. Laske S10, kun summa on 1 + 3 + 5 + … d = 3 – 1 = 2 a10 = 1 + 9  2 = 19

E.7. Laske kaikkien positiivisten alle 100 olevien 7:llä jaollisten kokonaislukujen summa. a1 = 7 d = 7 an = 98 98 = 7 + (n – 1)  7 7n = 98 n = 14

E.8. Mistä n:n arvosta alkaen n:n ensimmäisen luonnollisen luvun summa on suurempi kuin 1000? a1 = 1 d = 1 an = 1 + (n-1) 1 = n n + n2 > 2000 n2 + n – 2000 > 0 n2 + n – 2000 = 0 RTK-kaavalla n  44,2 (n  -45,2) V: n:n arvosta 45 alkaen

E.9. Määritä aritmeettisen jonon a1 ja d, kun a4 = 9 ja S9 = 99. a1 sijoittamalla a1 = 9 – 6 = 3 a1 = 3, d = 2 Kirjan esimerkki 2 ja 4 sivut 97, 98

E.2. s.97 1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 30 senttiä jne. Kuinka paljon syyskuun lopussa? Talletukset: aritmeettinen jono, a1, a2, a3, …, a30 a1 = 10 d = 10 a30 = 10 + (30 – 1) 10 = 300 (snt) V: 46,50 €

E.4. s.98 60 000 € lainaa / 15 vuotta Lainaa lyhennetään 2 krt / v maksaen joka kerta edellisen puolen vuoden korko Lyhennyseriä 15  2 = 30 Lyhennyserän suuruus = 60 000 / 30 = 2 000 (€) Jäljellä olevat lainamäärät: 60 000, 58 000, 56 000, …, 2000 Puolen vuoden korko 7,5 / 2 = 3,75 % Korot 1. 0,0375  60 000 2. 0,0375  58 000 3. 0,0375  56 000 … 30. 0,0375  2 000 Korot yhteensä 0,0375  60 000 + 0,0375  58 000 + … + 0,0375  2 000 = 0,0375(60 000 + 58 000 + … + 2000)

Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa Johdanto

Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an Sn = an + an-1 + … + a2 + a1 2Sn = (a1 +an) + (a2 + an-1) +….+ (an-1+a2) + (an +a1) a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an

2.4.1. Geometrinen jono Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi samalla luvulla Määritelmä Jono (an) on geometrinen, jos kaikilla n:n arvoilla pätee, että an+1 / an = q = vakio, jonka arvo ei riipu n:stä E.1.Voiko jono a) 3, 6, 12, 24, … b) -1, -8, -27, -81,… olla geometrinen a) Kyllä q = 2 b) Ei

Lukujonon osoittaminen geometriseksi Lasketaan an+1 / an mielivaltaisella kohtaa n. Jos tämä arvo ei riipu kohdasta n, on jono geometrinen. E.2. Osoita, että jono an = 4·5n on geometrinen n:stä riippumaton vakio, joten lukujono on geometrinen

Geometrisen jonon yleinen termi an an = aqn-1 missä a = jonon ensimmäinen termi q = suhdeluku Geometrisen jonon ratkaiseminen Lasketaan kaavan an = aqn-1 yhtälöstä kysytyn suureen (an, a, n tai q) arvo TAI ratkaistaan a ja q eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla, sillä geometrinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja q.

E.3. Mikä on geometrisen jonon 3, 6, 12, 24, … kymmenes termi? a = 3 q = 6 / 3 = 2 a10 = 3  210-1 = 1536

E.4. Luku 8 on geometrisen jonon …, 4, 8, … kahdeksas termi. Mikä on ensimmäinen termi? q = 8/4 = 2 a8 = 8 8 = a  27 a = 1/16 an = aqn-1

E.5. Monesko termi on luku 1 geometrisessa jonossa 256, 128, 64, …? a = 256 q = 128/256 = ½ 1 = 256  (½)n-1 (½)n-1 = 1/256 lg(½)n-1 = lg(1/256) n - 1 = lg(1/256)/lg(½) n – 1 = 8 n = 9 TAI (½)n – 1 = (½)8 n – 1= 8 n = 9 an = aqn-1

E.6. Geometrisessa jonossa a1 = 8 ja a13 = 1/8. Mikä on jonon suhdeluku? 1/8 = 8  q 13- 1 q 12 = 1/64 q = an = aqn-1

E.7. Geometrisen jonon suhdeluku on ½ ja a7 = 3. Mikä on jonon ensimmäinen termi? a = 192 an = aqn-1

E.8. Geometrisen jonon a3 = 6 ja a7 = 24. Määritä a1 ja q. an = aqn-1

E.9. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1,… on geometrinen. 2x2 – x = x2 – 4x +4 x2 + 3x – 4 = 0 Ratkaisukaavalla x = 1 tai x = -4 an = aqn-1

= on summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat geometrisen jonon 2.4.2. Geometrinen summa = on summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat geometrisen jonon Sn = a1 + a1q+ a1q2 + … + a1qn-1 = missä (ak) on päättyvä geometrinen jono ks. E.1. s. 106

EI KIRJOITETA Onko summa geometrinen a) 8 + 16 + 32 + 64 on b) k:sta riippumaton vakio on c) 4 + 6 + 9 + 13 ei

Geometrisen summan kaava Sn = kun q ≠ 1 Sn = kun q = 1 missä a = ensimmäinen yhteenlaskettava q = suhdeluku n = yhteenlaskettavien lkm

E.10. Laske S10 summasta 2 + 4 + 8 + … a = 2 q = 4 : 2 = 2

E.11. Geometrisessa summassa S10 = 1000 ja q = 2. Mikä on ensimmäinen termi? a(1 – 210) = -1000 a = 1000/1023

E.12. Montako termiä summan 5 + 10 + 20 + … alusta on otettava, jotta summa ylittäisi 5115? a = 5 q = 2 5(1 – 2n) = -5115 1 – 2n = -1023 -2n = -1024 2n = 1024 2n = 210 n = 10 V: 11 termiä, jotta summa ylittäisi 5115

Ks. kirjan esimerkit 2 – 3, s. 108 - 109 1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 40 senttiä jne. a) Kuinka paljon 10:ssä päivässä b) Kuinka paljon syyskuun lopussa? a = 10 q = 2 a) n = 10 b) n = 30 V: 102,30 € V: 107 374 182,30 €

E.3. Joka kuukauden alussa 500 euroa tilille Vuotuinen korko 3,0 %. Korko tilille kuukausittain a) Kolmen vuoden kuluttua? b) Milloin 41 000 €? Korko kuukautta kohden 3/12 = 0,25 % 1. talletus 500  1,002536 (36 kuukautta tilillä) 2. talletus 500  1,002535 (35 kuukautta tilillä) … viimeinen 500  1,0025 (kuukauden tilillä) 3. vuoden kuluttua rahaa tilillä: 500  1,002536 + 500  1,002535 +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,00252 +…+1,002536 )

b) Säästämisaika n kuukautta 1. talletus 500  1,0025n 2. talletus 500  1,0025n-1 … Viimeinen 500  1,0025 500  1,0025n + 500  1,0025n-1 +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,00252 +…+1,0025n ) -200 500(1 - 1,0025n) = 41000 1 - 1,0025n = -82/401 -1,0025n = -483/401 1,0025n = 483 / 401 n = lg (483/401)/lg 1,0025  74,5