Duaali Teemu Myllynen

Primaali Lineaarinen ohjelma(primaali) perusmuodossa: Muutetaan standardimuotoon:

Duaalin määritelmä(1/2) Jos standardimuodolle on optimiratkaisu, on olemassa kanta β={Aj1,…Ajm} siten, että Käypä ratkaisu lineaarisiin rajoitteisiin yTA ≥ c on y=cBB-1 (B=[Aji], cB kustannus kullekin A:lle) Nämä muodostavat duaalin rajoitteet duaalissa kustannusfunktio on määritelty max yTb, jolloin yT on sen optimiratkaisu

Duaalin määritelmä(2/2) Siis lineaarisen ohjelman(primaali) ja sen duaali yleisessä muodossa ovat:

Duaalin olemassaolo Jos lineaarisella ohjelmalla on optimaalinen ratkaisu, myös sen duaalilla on ja niiden kustannukset ovat samat. Todistus: x ja y ovat primaalin ja duaalin käypiä ratkaisuja, jolloin Primaalin kustannus hallitsee duaalin kustannusta Jos primaalilla on käypä ratkaisu duaalin ratkaisu ei voi olla rajoittamaton. duaalilla on siis käypä ratkaisu yT, jonka kustannus on B-1b on siis primaalin optimiratkaisu ja täten myös yT on duaalin optimiratkaisu

Duaalisuus Määritelmä: Duaalin duaali on primaali. Todistus, kirjoitetaan duaali seuraavasti ja käsitellään sitä primaalina Täten duaalin duaali on seuraava, mikä voidaan selvästi nähdä olevan alkuperäinen primaali

Ratkaisut (1/2) Lineaarisia ohjelmia on kolmea eri tyyppiä: Sillä on joko äärellinen optimi, ratkaisu on rajoittamaton tai sillä ei ole käypää ratkaisua. Primaali-duaali parilla on 3 erilaista kombinaatiota näistä; joko molemmilla on äärellinen optimi, kummallakaan ei ole käypää ratkaisua tai toisen ollessa rajoittamaton toisella ei ole käypää ratkaisua.

Ratkaisut(2/2) Todistus: aikaisemmin jo todettu, että jos primaali tai duaali on rajoittamaton toisella ei voi olla käypää ratkaisua. tarkastellaan tilannetta, jossa primaalilla ei ole käypää ratkaisua jos primaalin rajoite muutetaan x1,x2 ≥0 muuttuu duaali rajoittamattomaksi.

Esimerkki(1/2) Pikku-Kalle myy kananmunia ja maksaa (kurkku jäi kotiin). Hän ostaa tuotteensa kotinsa lähellä olevasta kaupasta ja myy ne sitten torilla. Reppuun ei kuitenkaan mahdu kuin maksimissaan 2 tuotetta, jotka painavat yhteensä 3 kiloa. Kananmunat painavat 2 kiloa ja maksa kilon. Hän tienaa voittoa 3 euroa per kananmuna ja 2 euroa per maksapaketti. Miten siis maksimoida voitto?

Esimerkki(2/2) Mitä duaali siis käytännössä tarkoittaa tässä tapauksessa? min 2y1+3y2 yritetään minimoida kustannuksia (y1 määrittelee paikka/tuote repussa ja y2 kilo/tuote -muuttujia, jotka ovat eräänlaisia varjohintoja). y1+2y2 ≥ 3 määrittelee kustannukset, jotka aiheutuvat kananmunista y1+y2 ≥ 2 määrittelee kustannukset maksasta vastaavasti Vastaus primaaliin on odotetusti x1=1 ja x2=1 ja koska tämä on selkeästi optimiratkaisu on se myös duaalin optimiratkaisu eli y1=1 ja y2=1.

Complementary Slackness(1/2) duaalin määritelmästä voidaan nähdä, että mitä tiukemmat rajoitteet yhdellä on sitä löysemmät ne ovat toiselle -> complementary slackness ehto: parilla x ja y on käyvät ratkaisut ja sillä on optimi jos ja vain jos

Complementary Slackness(2/2) Todistus aluksi todetaan, että ui ≥ 0 ja vj ≥ 0 kaikille i ja j duaalisuuden takia todetaan, että u+v=cTx-yTb (muuten x ja y kumoavat toisensa kaikilla i ja j) joten u=0 ja v=0 jos ja vain jos u+v=0 tai yTb=cTx(siis optimiratkaisu molemmille) Käytännössä tämä tarkoittaa, että jos optimissa primaalin i:s slack-muuttuja ei ole 0 niin duaalin i:s on ja jos duaalin j:s slack-muuttuja ei ole 0 niin primaalin j:s on.