Funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot Paikalliset ääriarvot f(x0) on funktion minimiarvo, jos kohdalla x0 on sellainen ympäristö, että sen kaikilla x pätee f(x) f(x0) f(x0) on funktion maksimiarvo, jos kohdalla x0 on sellainen ympäristö, että sen kaikilla x pätee f(x) f(x0) Maksimi- ja minimikohdat ovat funktion ääriarvokohtia. Maksimi- ja minimiarvot ovat funktion ääriarvoja
Lause Olkoon funktio f 1° JATKUVA kohdassa x0 ja 2° DERIVOITUVA eräässä x0:n ympäristössä tätä kohtaa mahdollisesti lukuunottamatta (funktion derivaatta voi olla nolla x0:ssa tai funktio ei ole derivoituva x0:ssa) 3° Jos derivaatan merkit muuttuu - +, niin x0 on minimikohta Jos derivaatan merkit muuttuu + -, niin x0 on maksimikohta Jos derivaatan merkki ei muutu, niin x0:ssa ei ole ääriarvoa
E.4. Mitkä ovat funktion f(x) = x3 - 3x2 ääriarvot? Funktio on polynomina kaikkialla jatkuva ja derivoituva f ’(x) = 3x2 – 6x f ’ (x) = 0: 3x2 – 6x = 0 3x(x – 2) = 0 x = 0 tai x = 2 jne. ks. muistiinpanot
Ääriarvon tutkiminen alueen reunalla Katsotaan ensin kuuluuko reuna määrittelyjoukkoon (jos ei, niin ei ole ääriarvoakaan reunalla) Derivaatan merkeistä päätellään kuinka funktio lähtee/saapuu reunalle ja tämän perusteella ääriarvon laatu
Funktio on polynomina kaikkialla jatkuva ja derivoituva E.5. Määritä funktion f(x) = x3 - 3x + 1 ääriarvot välillä [0,3] Funktio on polynomina kaikkialla jatkuva ja derivoituva f ’(x) = 3x2 – 3 f ’ (x) = 0: 3x2 – 3 = 0 3x2 = 3 x2 = 1 x = 1 muistiinpanot
279c
281a NK:
282a