2.3.1. Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio: Siis an+1 – an = d (vakio) Jonon yleinen termi: an = a + (n - 1)d missä a = jonon ensimmäinen termi d = erotusluku Aritmeettisen jonon ratkaiseminen Lasketaan kaavan an = a + (n - 1)d yhtälöstä kysytyn suureen (an, a, n tai d) arvo TAI ratkaistaan a ja d eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla, sillä aritmeettinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja d.

E.2. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1, … on aritmeettinen E.1. Mikä on aritmeettisen jonon 2, 5, 8, … sadas termi a = 2 d = 5 - 2 =3 a100 = 2 + (100 - 1)3 = 299 E.2. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1, … on aritmeettinen (x – 2) – x = (2x – 1) – (x – 2) -2 = x + 1 x = -3

E.3. Luku 10 on aritmeettisen jonon …, 8, 10, … kahdeksas termi. Mikä on ensimmäinen termi? a8 = 10 a + (8-1)  2 = 10 a = -4 E.4. Monesko termi on aritmeettisessa jonossa 1, 4, 7, … luku 1000? a = 1 d = 4 – 1 = 3 1 + (n – 1)3 = 1000 1 + 3n – 3 = 1000 3n = 1002 n = 334 an = a + (n - 1)d

E.5. Aritmeettisen jonon kolmas termi on 12 ja yhdeksäs 30. Määritä jonon 10. termi. a3 = a + (3 – 1)  d a9 = a + (9 – 1)  d 6d = 18 d = 3 a = 6 a10 = 6 + (10-1)  3 = 33 an = a + (n - 1)d

2.3.3. Aritmeettinen summa = summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon: Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = missä (ak) on päättyvä aritmeettinen jono

Onko summa aritmeettinen 7 + 3 + (-1) + (-5) + (-9) ks. esimerkit 1 & 2 s. 94 - 95 EI KIRJOITETA Onko summa aritmeettinen 7 + 3 + (-1) + (-5) + (-9) 2 + 4 + 7 + 11 + 16 ak+1 – ak = (4(k+1) – 3 ) – (4k – 3) = 4k + 4 – 3 – 4k + 3 = 4 on, k:stä riippumaton

Aritmeettisen summan kaava Sn = missä a1 = ensimmäinen termi an = viimeinen termi n = termien lukumäärä

E.6. Laske S10, kun summa on 1 + 3 + 5 + … d = 3 – 1 = 2 a10 = 1 + 9  2 = 19

E.7. Laske kaikkien positiivisten alle 100 olevien 7:llä jaollisten kokonaislukujen summa. a1 = 7 d = 7 an = 98 98 = 7 + (n – 1)  7 7n = 98 n = 14

E.8. Mistä n:n arvosta alkaen n:n ensimmäisen luonnollisen luvun summa on suurempi kuin 1000? a1 = 1 d = 1 an = 1 + (n-1) 1 = n n + n2 > 2000 n2 + n – 2000 > 0 n2 + n – 2000 = 0 RTK-kaavalla n  44,2 (n  -45,2) V: n:n arvosta 45 alkaen

E.9. Määritä aritmeettisen jonon a1 ja d, kun a4 = 9 ja S9 = 99. a1 sijoittamalla a1 = 9 – 6 = 3 a1 = 3, d = 2 Kirjan esimerkki 2 ja 4 sivut 97, 98

E.2. s.97 1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 30 senttiä jne. Kuinka paljon syyskuun lopussa? Talletukset: aritmeettinen jono, a1, a2, a3, …, a30 a1 = 10 d = 10 a30 = 10 + (30 – 1) 10 = 300 (snt) V: 46,50 €

E.4. s.98 60 000 € lainaa / 15 vuotta Lainaa lyhennetään 2 krt / v maksaen joka kerta edellisen puolen vuoden korko Lyhennyseriä 15  2 = 30 Lyhennyserän suuruus = 60 000 / 30 = 2 000 (€) Jäljellä olevat lainamäärät: 60 000, 58 000, 56 000, …, 2000 Puolen vuoden korko 7,5 / 2 = 3,75 % Korot 1. 0,0375  60 000 2. 0,0375  58 000 3. 0,0375  56 000 … 30. 0,0375  2 000 Korot yhteensä 0,0375  60 000 + 0,0375  58 000 + … + 0,0375  2 000 = 0,0375(60 000 + 58 000 + … + 2000)

Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa Johdanto

Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an Sn = an + an-1 + … + a2 + a1 2Sn = (a1 +an) + (a2 + an-1) +….+ (an-1+a2) + (an +a1) a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an