Raja-arvon määritelmä

Slides:

Advertisements

Samankaltaiset esitykset

Yleistä Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen

Advertisements

Murtolukujen kertolasku

Robust LQR Control for PWM Converters: An LMI Approach

5.1. Tason yhtälö a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

Analyyttinen geometria MA 04

MAA0 LUKUALUEET Luonnolliset luvut N = 0,1,2,3,…

Suositukset hirvenmetsästykseen Metsästyskausi 2012.

Langattomien laitteiden matematiikka 1

Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12

Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa.

AS Automaation signaalinkäsittelymenetelmät

Valitse seuraaviin vaihtoehtotehtäviin oikea vastaus…

Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle

KERTAUSTA PERUSASTEEN MATEMATIIKASTA Piia junes

Rajoitetut jonot 1. Alhaalta rajoitettu jono

LOGARITMI Eksponenttiyhtälön 10x = a ratkaisua sanotaan luvun a logaritmiksi Merkintä x = lga Huom. vain positiivisilla luvuilla on logaritmi.

Liukoisuus-ja ionitulo

Murtoluvun yhteen- ja vähennyslasku

TMA.003 / L3 ( )1 3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio Olkoon A ja B ei-tyhjiä joukkoja. Tulojoukon A  B = {(x,y) | x  A, y  B} osajoukko on.

3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio

1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA

1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot

11. Kaksi uhkapelaajaa heittää vuorotellen noppaa

UMF I Luento 1. Aika Luennot, Klo 14–16 to 4.9 – ke 10.9 ke 24.9 – ke 1.10 ke – pe Demot, Klo 10–12/12–14/14–16 Pe 12.9, Ti 16.9, Pe 19.9.

Sairaaloiden lääkärien työvoimatilanne Kyselyyn vastasivat 18 sairaanhoitopiiriä sekä Kainuun maakunta - Puuttuu yksi sairaanhoitopiiri.

LINEAARINEN MUUTOS JA KULMAKERROIN

Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen.

ict1td002 - Copyright Raine Kauppinen 1 Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5)  Aiemmin olemme jo antaneet muuttujille alkuarvoja, esimerkiksi: int.

Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen.

2.4. Raja-arvo äärettömyydessä ja raja-arvo ääretön E.1.

Murtoluvun supistaminen

Jatkuvan funktion nollakohdat

Murtoyhtälöt - Yhtälö, jossa nimittäjässä tuntematon

3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Langattomien laitteiden matematiikka 1

1. Usean muuttujan funktiot

Diskreetti matematiikka

3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ

PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)

Kymmenkantainen logaritmi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Stabiilit monistot ja kriisit Mat

7. Määritä sellaisen ympyräsektorin keskuskulma, jonka pinta-ala on 1 ja piiri mahdollisimman lyhyt. Anna tulos 0,1 asteen tarkkuudella. Keskuskulma =

4.1. Funktion ääriarvot Funktion kasvu ja väheneminen

Monotoniset jonot Jono (a n ) on kasvava, jos  n : a n+1  a n aidosti kasvava, jos  n : a n+1 > a n aidosti vähenevä, jos  n : a n+1 < a n vähenevä,

Virtuaalinen analyysin peruskurssi

Juurifunktio potenssifunktion käänteisfunktiona

Samankantaisten potenssien kerto- ja jakolasku

2. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Pinta-alan käsite Kirja, sivut

Todennäköisyyslaskentaa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Jaksolliset radat ja rajajoukot.

Neperin luku e ja funktio y = ex

Funktion jatkuva kohdassa x = x0 joss

Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta

POTENSSIT eksponentti kantaluku a n = a ·a · · · ·a n kpl E.1. E = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 Huom. Miljoona = 10 6 Miljardi = 10 9 Biljoona = Triljoona.

Koska toispuoliset raja-arvot yhtä suuria, niin lim f(x) = 1

2. Lukujonot -äärellinen tai ääretön 2.1. Lukujonon käsiteLuettelona: a 1, a 2, a 3,…,a n,…, jolloin a n on jonon n:s termi Lukujonon merkintätapoja Jono.

Liikkeen fysiikkaa.

Funktio ja funktion kuvaaja

TMA.003 / L3 ( ) I asteen yhtälö Perusaskeleet: (1) termi saa vaihtaa puolta, jos se samalla vaihtaa merkkiä 5x = 4x + 2  5x – 4x = 2 (2)

Funktiot Funktio = mahdollisten syöte- ja tulostearvojen välinen suhde siten, että kuhunkin syötearvoon on liitetty tulostearvo –Funktion laskeminen =

LUKUSUORA JA LUKUVÄLIT

Mitä osattava (minimivaatimus)?. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen –Huom! Määrittelyehdot Peruslaskutoimitukset –polynomien erityisesti binomin.

Laske päässä. Potenssi Kolmioita Tasakylkinen kolmio kaksi yhtä pitkää kylkeä kantakulmat yhtä suuret. Kolmion kulmien summa on 180°. Tasasivuinen.

Murtolukujen kertolasku Supistaminen ennen kertomista.

Kuutio 8 4. Potenssi ja polynomi

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

2. Lukujonot 2.1. Lukujonon käsite -äärellinen tai ääretön Luettelona:

Toispuoleinen raja-arvot

Itseisarvo ja vastaluku

Esityksen transkriptio:

2.5.1. Raja-arvon määritelmä 2.5. Lukujonon raja-arvo 2.5.1. Raja-arvon määritelmä Jono (an) suppenee kohti raja-arvoa a, jos sen termit an saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a, kun n valitaan riittävän suureksi. Merkintä: TAI lim an = a TAI an ® a, kun n ® ¥ Lukujono hajaantuu, jos sillä ei ole raja-arvoa Jos raja-arvo olemassa, niin se on yksikäsitteinen eli lukujonolla voi olla vain yksi raja-arvo.

E.1. Lukujonon raja-arvo on ½. Miten suuri on luvun n oltava, jotta termien arvot poikkeaisivat raja-arvosta vähemmän kuin 0,001? V: n:n arvosta 124 allkaen jonon termit poikkeavat raja-arvosta vähemmän kuin 0,001 0,008n + 0,01 > 1 0,008 n > 0,99 n > 123,75

Raja-arvoja ks. esimerkki 1 s. 116 - 117

Laskusääntöjä lim an = a ja lim bn = b 1. lim (can) = ca 2. lim (an + bn) = a + b 3. lim (an - bn) = a - b 4. lim (an · bn) = a · b 5. lim (an / bn) = a / b , lim bn = b ¹ 0

Raja-arvot lasketaan, kuten vastaavien funktioiden raja-arvot. 1) ”polynomi : polynomi” Supista, nimittäjän korkeimmalla n:n potenssilla. Tällöin äärettömyyteen menevät termit ovat nimittäjässä ja näiden termien raja-arvo on nolla. 2) ”juuri – juuri” Lavenna lausekkeella ”juuri + juuri”, pääset tilanteeseen ääretön : ääretön. Supista sitten nimittäjän korkeimmalla potenssilla. HUOM:

E.2. Laske lukujonojen raja-arvot

E.3. Laske lukujonon raja-arvo

2.5.3. Monotonisen jonon suppeneminen Jos jono on alhaalta rajoitettu ja jono on vähenevä niin jono suppenee. Jos jono on ylhäältä rajoitettu ja jono on kasvava, niin jono suppenee. E.4. Osoita, että lukujono suppenee. > 0 => an+1 > an x. Lukujono an on aidosti kasvava

Koska lukujono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, niin se suppenee. Lukujono ylhäältä rajoitettu Koska lukujono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, niin se suppenee.

2.5.4. Geometrisen jonon suppeneminen Geometrinen jono an = aqn-1 (a ≠ 0) suppenee, jos -1 < q  1 Jos -1 < q < 1 niin lim aqn-1 = 0 Jos q = 1 jono on vakiojono a, a, a, … ja lim an = a Muulloin jono hajaantuu.

E.5. Suppeneeko jono a) 1, 2, 4, 8, … b) 8, 4, 2, 1, … c) 2, -6, 18, -54, … d) 1, -1, 1, -1, … a) q = 2 : 1 = 2, ei suppene b) q = 4 : 8 = ½, suppenee c) q = -6 : 2 = -3, ei suppene d) q = -1, ei suppene

E.6. Millä x:n arvoilla geometrinen jono a) 1, (x - 1), (x - 1)2, … b) 2, (3x - 4), … suppenee? Geometrinen jono suppenee, kun -1 < q  1 a) b)

Jono heilahtelee rajoitetusti esim. silloin kun joka toinen termi lähestyy lukua a ja joka toinen lukua b, missä a ¹ b Jono heilahtelee rajatta esim. silloin kun joka toinen termi lähestyy + ¥ ja joka toinen lähestyy - ¥ (tai jotain äärellistä lukua a)