4. Jakaumien teoriaa Jos diskreetin satunnaismuuttujan x arvojoukko = {x1, x2, …, xn}, niin todennäköisyys sille, että x saa arvon xk Todennäköisyyksien summa p1 + p2 + p3 + …+pn = 1

Satunnaismuuttujan jakauma Jakauman muodostaa satunnaismuuttujan arvot yhdessä niiden tulemisen todennäköisyyden kanssa. Tasainen jakauma Jakauma on tasainen, jos kaikilla satunnaismuuttujan arvoilla on sama todennäköisyys. Merkintä: x ~ Tas(x1, x2, …,xn) (ks. esimerkki 3, s. 106) Nopanheitto Satunnaismuuttuja x = ”nopan pisteluku” x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6 p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6 x ~ Tas(1, 2, 3, 4, 5, 6)

Mikä on p5, kun p1 = 0,1, p2 = 0,15, p3 = 0,2 ja p4 = 0,25? E.2. Satunnaismuuttuja x saa 5 arvoa. Mikä on p5, kun p1 = 0,1, p2 = 0,15, p3 = 0,2 ja p4 = 0,25? p5 = 1 – (0,1 + 0,15 + 0,2 + 0,25) = 0,30

E.3. Painotetulla nopalla 6 saamisen todennäköisyys on viisinkertainen muiden silmälukujen saamiseen verrattuna, joilla on keskenään sama todennäköisyys. Muodosta silmälukujen jakauma ja esitä se graafisesti. 5x + 5x = 1  x = 0,1 x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 x4 = 4 x5 = 5 x6 = 6 Vastaavat todennäköisyydet: p1 = 0,1 p2 = 0,1 p3 = 0,1 p4 = 0,1 p5 = 0,1 p6 = 0,5

x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 2. noppa p0 = 6/36 E.4. Noppaa heitetään kahdesti. Esitä satunnaismuuttujan x = silmälukujen erotuksen itseisarvon jakauma. x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 1 2 3 4 5 6 1. noppa 2. noppa 6 5 4 3 2 1 p0 = 6/36 p1 = 10/36 p2 = 8/36 p3 = 6/36 p4 = 4/36 p5 = 2/36 5 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

x = valkoisten pallojen lukumäärä x0 = 0, x1 = 1 x2 = 2, x3 = 3 E.5. Laatikossa on 4 valkoista ja 6 mustaa palloa. Otetaan kolme palloa. Laske saatujen valkoisten pallojen lukumäärän jakauma. x = valkoisten pallojen lukumäärä x0 = 0, x1 = 1 x2 = 2, x3 = 3

4.1.2. Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo ja keskihajonta on satunnaiskokeen arvojen odotettavissa oleva keskiarvo, jos koetta tehtäisiin äärettömästi. Odotusarvon laskeminen Ex = m = p1x1 + p2x2 + p3x3 + …+pnxn = E.6. TV:n laatikkokisassa on 10 laatikkoa. Kolmessa on 100 € ja 200 €, kahdessa 400 € sekä yhdessä 800 € ja 3000 €. Pelaaja valitsee satunnaisesti laatikon. Mikä on voiton odotusarvo? Ex = = 550 (€)

E.7. Mikä on kahden nopan heitossa silmälukujen erotuksen itseisarvon odotusarvo? E.4… p0 = 6/36 p1 = 10/36 p2 = 8/36 p3 = 6/36 p4 = 4/36 p5 = 2/36 x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 Ex =

Keskihajonnan laskeminen Dx = s = Varianssi on keskihajonnan neliö = D2x = s2

E.8. Rahaa heitetään 4 kertaa. Laske kruunujen lukumäärän odotusarvo ja keskihajonta. x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4 Ex = = 2 = 1 Dx =

4.1.3. Binomijakauma Satunnaismuuttuja noudattaa binomijakaumaa pk = · pk · (1 - p)n-k Merkitään x ~ Bin(n,p) Binomijakauman odotusarvo Ex = np Binomijakauman keskihajonta Dx =

E.9. Noppaa heitetään 5 kertaa. Muodosta kuutosten lukumäärän jakauma. x0= 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4 x5 = 5

E.10. Oppilas saa flunssan todennäköisyydellä 0,15. Matikan ryhmässä on 19 henkilöä. Mikä on tunnilta poissa olevien oppilaiden odotusarvo? n = 19 p =0,15 Ex = np = 19 · 0,15 = 2,85

E.11. Rahaa heitetään neljä kertaa. Mikä on kruunujen lukumäärän odotusarvo ja keskihajonta? n = 4 p = ½ Ex = np = 4 · ½ = 2 = 1 Dx =