BINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA ― SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA Millaisia aaltomuotoja (peruspulsseja) tyypillisesti käytetään? A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari KärkkäinenSyksy 2015

KANAVAAN SOPIVIA PULSSIAALTOMUOTOJA Kuten analogisissa, myös digitaalisissa järjestelmissä käytetään kantoaallon amplitudia, vaihetta ja taajuutta informaation siirtoon. Sanoma on nyt diskreettiarvoinen. Peruspulssit s 1 (t) ja s 2 (t) ovat T-kestoisia ja äärellisen energian omaavia. Energioiden ei tarvitse olla samoja. M-tilaisessa modulaatiossa amplitudilla, vaiheella ja taajuudella on vain enemmän mahdollisia arvoja. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 2

PULSSIT (SYMBOLIT) VEKTOREINA Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 3 Tarvitaan ortonormaalit (ortogonaaliset & normeeratut) kantafunktiot, joiden avulla signaalit esitetään. 2-dim. avaruudessa sellaiset ovat sini ja kosini-signaalit, jotka virittävät ns. I/Q-tason.

MF-VASTAANOTTIMEN RAKENNE Tark. binäärisen järjestelmän päätösmuuttujaa v(t) hetkellä t = T. Koska kosinipulssien keskiarvo on nolla, integroi & pura -ilmaisinta ei voida enää soveltaa. Lisäksi tarvitaan päätöksentekokellosignaali. Optimaalinen vastaanotin on suodatin, jonka lähtöä verrataan optimaaliseen kynnykseen k päätöksentekohetkellä t = T. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 4

BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYDEN (PEB) JOHTO AWGN-tehotiheys N 0 /2 ja 0  t  T. Olet. t 0 = 0. s 1 (t) ja s 2 (t) valitaan siten, että suodattimen lähdössä vaste s 01 (T) k, päätetään, että s 2 (t) lähetettiin. Stationäärisen Gaussin kohinamuuttujan N = n 0 (T) odotusarvo on nolla ja varianssi  0 2. Jos s 1 (t) lähetetty, V = v(T) = s 01 (T) + N. Jos s 2 (t) lähetetty, V = v(T) = s 02 (T) + N. V on myös Gaussin muuttuja. Kohinakomponentti n 0 (t) aiheuttaa virheen, jos s 1 (t) on lähetetty ja V = v(T) = s 01 (T) + n 0 (T) > k, tai jos s 2 (t) on lähetetty ja V = v(T) = s 02 (T) + n 0 (T) < k. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 5

BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYDEN (PEB) JOHTO Derivoimalla P E saadaan k opt ja P E :n minimiarvo. Jos P[s 1 (t)] = P[s 2 (t)], k opt on symmetrisesti leikkauspisteessä. P E :n kaavasta nähdään, että Q-funktio on pienimillään, kun signaalien erotus optimaalisella näytteenottohetkellä suod. lähdössä on suurin (signaaliavaruuden vektorit ovat mahdollisimman etäällä toisistaan). Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 6

SIGNAALIVEKTORIEN EUKLIDISET ETÄISYYDET Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 7 BPSK:lla on tässä kuvasarjassa suurin Euklidinen etäisyys, jonka vuoksi P E on 3 dB parempi kuin esimerkiksi ASK:n ja FSK:n P B ja QPSK:n P S. FSK:n etäisyys on kuvassa  2 amplitudiyksikköä ja BPSK:n 2 amplitudiyksikköä. ASK symbolien välinen etäisyys vain 1 amplitudiyksikkö, mistä seuraa huonoin suoritukyky tämän kuvan signaaleille.

SOVITETTU SUODATIN (MATCHED FILTER, MF) Millainen vastaanotin ilmaisee lähetetyn signaalin optimaalisesti AWGN-kanavasta? A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari KärkkäinenSyksy 2015

BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYDEN (PEB) JOHTO MF kehitettiin WW II:n aikana tutkasovelluksiin (North 1943). Haetaan suodatinta, eli sen siirtofunktiota ja impulssivastetta, joka ilmaisee vastaanotetut pulssit optimaalisesti kohinasta, eli se minimoi BEP:n ja maksimoi SNR:n suodattimen lähdössä. Johdetaan H(f), joka maksimoi eroparametrin . Merkintöjen yksinkertaistamiseksi olkoon g(t) = s 2 (t) − s 1 (t).  :n maksimiarvo on  = g 0 (T)/  0, kun t = T. Silloin myös  2 maksimoituu. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 9

SOVITETTU SUODATIN (MATCHED FILTER, MF) Johdossa käytetään Schwarzin epäyhtälöä, jossa sisätulo (pistetulo) määritellään jatkuva-arvoisten funktioiden tulon integraalina. Sisätulo myös vastaa kompleksiarvoisten N-ulotteisten diskreetien vektorien kertolaskua komponenteittain, missä toisen komponentit ovat kompleksikonjugoidut ja lopuksi tulojen summaamista. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 10  A B

SOVITETTU SUODATIN Yhtäsuuruus on voimassa, jos X(f) = k  Y(f) (vrt. vektorit A ja B samansuuntaisia, ts. A = k  B). Optimaalinen siirtofunktio H 0 (f) saadaan käänteismuunnoksella. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 11

SOVITETTU SUODATIN Sovitetun suodattimen kaksi tärkeää muistettavaa ominaisuutta: 1.Optimaalisella näytteenottohetkellä lähdön SNR maksimoituu, ja sen arvo on 2E g /N 0 pulssin muodosta riippumatta. 2.Impulssivaste on pulssin ajan suhteen käännetty ja viivästetty versio. MF kansanomaisesti: ”Pulssit ovat kuin käsiä ja MF:t niihin sopivia oikean ja vasemman käden oikean kokoisia hanskoja. Kun käsi on perillä ja istuu hanskaan hyvin (tuntuu siis hyvältä), niin se vastaa SNR:n huippuarvoa.” Viivästys tarvitaan, jotta suodattimesta muodostuisi kausaalinen ja siten realisoituva. Epäkausaalisen suodattimen lähdössä näkyisi vaste ennen kuin tulosignaali on saapunut sisään! Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 12

SOVITETTU SUODATIN Kausaalisuusvaatimus: Viipeen oltava vähintään T-pituinen, jotta suodatin olisi realisoituva. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 13

SOVITETTU SUODATIN (S) Kynnykseen vertailu ja näytteenotto voidaan toteuttaa eri tavoilla. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 14 Pulssien erilaiset energiat huomioitu biastekijöinä yhteismitallisen vertailun mahdollistamiseksi Pulssien energiat samoja

KONVOLUUTION LASKEMINEN GRAAFISESTI Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 15 Sovitettu suodatin laskee tulosignaalin ja suodattimen impulssivasteen välisen konvoluutiointegraalin:

ESIMERKKI Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 16

ESIMERKKI 2 Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 17

SOVITETUN SUODATTIMEN REALISOINTI Käytännössä MF voidaan toteuttaa digitaalisesti FIR-tyyppisellä poikittaissuodattimella (transversal filter). Painokertoimet a i määräävät sovitettavan pulssimuodon perusteella impulssivasteen (”hanskan koko ja muoto”). Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 18

SOVITETUN SUODATTIMEN REALISOINTI Aiemmin tarkasteltu kantataajuisen järjestelmän integroi & pura - vastaanotin on itse asiassa sovitettu suodatin. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 19 Jännitejaon RC-sarjalenkki on integraattori eli alipäästöluonteinen suodatin Jännitejaon CR-sarjalenkki on derivaattori eli ylipäästöluonteinen suodatin Differentiaaliyhtälöihin linkittyvässä Laplace-muunnosteoriassa derivointi vastaa kertomista muuttujalla S ja integrointi jakamista muuttujalla S =  + j 

SOVITETUN SUODATTIMEN REALISOINTI Alla on esitetty sovitetun suodattimen lähdön aaltomuoto kolmelle kantataajuiselle pulssille ja sekä yhdelle kosinipulssille. Synkronisen järjestelmän näytteenottokellon ajoitus on tärkeä SNR:n maksimoimiseksi, jottei P E kasva. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 20 Kriittinen näytteenottohetki t = T

SOVITETUN SUODATTIMEN REALISOINTI Kaistanpäästösignaalille (kantoaaltoon moduloidut symbolit) voidaan toteuttaa analoginen MF esim. SAW (surface acoustic wave) – tekniikalla Kantataajuiselle (baseband) signaalille digitaalisesti ohjelmoitava FIR-suodatin. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 21

SOVITETUN SUODATTIMEN VIRHETODENNÄKÖISYYS PULSSIAALTOMUOTOJEN FUNKTIONA Miten P E riippuu valituista aaltomuodoista/pulsseista? Onko pulssien valinnalla väli? A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari KärkkäinenSyksy 2015

BEP:N RIIPPUVUUS PULSSIEN KORRELAATIOSTA BEP:n lausekkeessa esiintyvä signaalien välinen erilaisuus tai samankaltaisuus (siis erotus) voidaan ilmaista signaalivektorien välisen Euklidisen etäisyyden sijasta korrelaatiokertoimen avulla. Käytetään ns. Parsevalin teoreemaa aika-taajuusmaailmojen välillä: Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 23

BEP:N RIIPPUVUUS PULSSIEN KORRELAATIOSTA  12 on energioilla normalisoitu mitta signaalien samankaltaisuudesta, saaden päätearvonsa ±1 välillä −1   12  +1, kun s 1 (t) = ±s 2 (t).  12 linkittää siis signaalien valinnan ja BEP-suorituskyvyn toisiinsa.  12 on pulsseja vastaavien signaaliavaruuden vektorien sisätulo jaettuna vektorien normien tulolla. Signaalivektorin normi on aina signaalin energian neliöjuuri. P E :n kaavasta nähdään, että Q-funktion argumentti maksimoituu (P E minimoituu), kun  12 = −1, jolloin signaalit ovat mahdollisimman erilaisia. Esim. 180  vaihesiirrossa olevat kosinipulssit BPSK:lla. Kantataajuisen järjestelmän ±A -tasoiset signaalit olivat myös sellaisia. Tuollaisia 1-dim. signaaliavaruudessa vaikuttavia signaalista luvulla -1 kerrottuja signaalipareja sanotaan antipodaalisiksi signaaleiksi. Jos  12 = 0, signaaleja sanotaan ortogonaalisiksi. Vektorien sisätulo on tuolloin nolla (vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan). Ortog. esiintyy myös N-ulotteisessa signaaliavaruudessa, jota on vaikeahko hahmottaa, mutta joka on teknisesti toteutettavissa. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 24

BEP:N RIIPPUVUUS PULSSIEN KORRELAATIOSTA Kuvissa esimerkkejä ortogonaalisista signaaleista. Sisätulon kaava: Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 25

BEP:N RIIPPUVUUS PULSSIEN KORRELAATIOSTA Kun sinipulsseilla on sopiva symbolinopeuteen verrannolloinen taajuusero, ne ovat ortogonaalisia. Niitä käytetään binäärisen FSK:n ja M-tasoisten MFSK-modulaatioiden toteutuksessa. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 26

BEP:N RIIPPUVUUS PULSSIEN KORRELAATIOSTA Antipodaalisuus vs. ortogonaalisuus muutamilla modulaatioilla: Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 27 Ortogonaalisten ja antipodaalisten signaaliparien yhdistelmä Antipodaalinen Ortogonaalinen

BEP:N RIIPPUVUUS PULSSIEN KORRELAATIOSTA Huomioimalla pulssien keskimääräinen energia E = 0.5  [E 1 +E 2 ], olettaen binääristen symbolien a priori -todennäköisyydet samoiksi, sekä aiemmin määritelty parametri z = E b /N 0, saadaan aiemmat yhtälöt kirjoitettua hieman yksinkertaisemmin: Viimeisin yhtälö on täsmälleen sama kuin kantataajuisen järjestelmän BEP-lauseke. Kantataajuinen järjestelmä on siis antipodaalinen. Kuvassa 8.11 on esitetty antipodaalisen ja ortogonaalisen binäärisen järjestelmän suorituskykykäyrät. Käyrien ero pienillä BEP-arvoilla on 3 dB, mikä voidaan päätellä eo. kaavoista. 3dB:n ero siis vastaa aina kerrointa 2 parametrin z edessä. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 28 Muista nämä

BEP:N RIIPPUVUUS PULSSIEN KORRELAATIOSTA Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 29 3 dB:n asymptoottinen ero suurilla SNR-arvoilla Kerroin 2  3 dB:n ero

Q (X)- JA ERFC(X)- FUNKTIOT MATLABILLA (S) Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 30

MF KORVAAMINEN KORRELAATTORILLA MF voidaan korvata kertojan ja integraattorin yhdistelmällä, jotä sanotaan korrelaatioilmaisuksi. Digitaalinen vastaanotin sisältää joko MF:n tai korrelaattorin. Toteutuksen helppous ratkaisee valinnan. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 31

OPTIMAALINEN KYNNYKSEN PAIKKA Saman energian omaavien signaalien päätöksentekokynnys on origossa binääriselle järjestelmälle. Signaalien välisellä korrelaatiokertoimella (siis vektorien sijainnilla signaaliavaruudessa) ei ole vaikutusta kynnyksen paikkaan, vaan ainoastaan niiden energioilla. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 32

TOTEUTUKSEN EPÄIDEAALISUUDET Synkronointivirheet, värillinen kohina ja symbolisärö (ISI) A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari KärkkäinenSyksy 2015

TOTEUTUKSEN EPÄIDEAALISUUDET MF- ja korrelaatiovastaanottimen analyysissä on tehty kaksi oleellista analysointia yksinkertaistavaa oletusta: Oletettu, että vastaanottimessa voidaan generoida PLL-piirillä lähetettyjen pulssien kanssa vaihekoherentteja pulsseja (koherentti korrelaattori-ilmaisu). Käytännössä esiintyy vaihevirheitä. Oletettu, että päätöksenteossa tarvittava kellosignaali on ideaalisesti synkroninen lähetetyn symbolijonon kanssa. Käytännössä esiintyy kellosignaalin epätarkkuutta, jolloin näyte ei osu suodattimen lähdön maksimiarvokohtaan jolloin SNR on maksimissaan ja P E minimissään. Käytännössä saavutettava BEP-suorituskyky AWGN-kanavassa on aina huonompi, kuin edellä teoreettisesti johdettu. Muissa kuin AWGN-kanavissa (esim. häipyvä monitiekanava) se on vieläkin huonompi kuin AWGN-tapauksessa. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 34

MF VÄRILLISESSÄ EI-VALKOISESSA KOHINASSA (S) AWGN summautuu vastaanottimen etuasteissa. Jos kaistarajoitus (kanava, tai BPF) edeltää kohinan summausta, riittää että MF sovitetaan BPF-modifioituneisiin lähetettyihin signaaleihin. Jos kohina summautuukin ennen BPF-suodatusta (esim. kohinainen sekoittaja edeltää IF-suodatusta), tarvitaan lisäksi kohinanvalkaisusuodatin. Värillinen kohina ja signaali menevät erillisen valkaisusuodattimen läpi, jonka siirtofunktio on kohinan tehotiheyden neliöjuuren käänteisarvo (johtuu kaavasta: S Y (f )= |H(f)| 2  N 0 /2). Varsinainen MF rakennetaan valkaisusuodattimen läpi kulkeneelle modifioituneelle sanomapulssille. Näin AWGN-kohinalle aiemmin johdetut MF:n tulokset ovat voimassa. Kaskadirakennetta sanotaan valkaistuksi sovitetuksi suodattimeksi. Edellä kuvattu ratkaisu on vain likimain optimaalinen. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 35

SYMBOLIEN VÄLINEN KESKINÄISVAIKUTUS (S) Nimittäin, valkaisusuodatin levittää pulssit T-kestoisen symboliaikavälin yli, mistä seuraa: Kaikki symboliin sisältyvä energia ei ole käytettävissä symbolipäätöstä tehtäessä optimaalisella hetkellä, sillä osa symbolin energiasta on levinnyt naapurisymbolien aikaväleille. Valkaisusuodattimen levittämät peräkkäisten pulssien ”hännät” aiheuttavat siten symbolien välistä keskinäisvaikutusta (inter- symbol interference, ISI), mikä häiritsee ilmaisun luotettavuutta. Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 36 Optimaalinen näytteenotto-hetki, jolla energia jää vajaaksi

SYMBOLIEN VÄLINEN KESKINÄISVAIKUTUS (S) ISI:ä voidaan poistaa poikittaissuodattimeen perustuvalla kanavakorjaimella (ekvalisaattorilla). Pulssin muodon korjaavat (ekvalisoivat) FIR-suodattimen kompleksiset tappikertoimet w i (signaalivektorin amplitudi & vaihe) lasketaan sopivalla virheen minivoivalla (adaptiivisella) algoritmilla (esim. ZF tai MMSE). Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 37

SYMBOLIEN VÄLINEN KESKINÄISVAIKUTUS (S) ISI-ongelma poistuisi, jos symbolin kestoaika T olisi lyhyt verrattuna pulssin toistotaajuuden käänteisarvoon. Sellainen tilanne syntyy esimerkiksi tutkapulssien yhteydessä ilmaistaessa tutkasignaalia sovitetulla suodattimella (pulssi ja sen jälkeen seuraa hiljainen jakso, jona ei lähetetä mitään kaiun kuulemiseksi). Digitaalisessa siirrossa tällaista mahdollisuutta ei käytännössä ole. Kohinanvalkaisusuodatin on lähes optimaalinen, jos signalointiväli T on suuri verrattuna valkaisusuodattimen kaistanleveyden käänteisarvoon (suuri kaistanleveys). Syksy A Tietoliikennetekniikka II Osa 4 Kari Kärkkäinen 38