Matematiikan käsitteet alkuopetuksessa

Esitys aiheesta: "Matematiikan käsitteet alkuopetuksessa"— Esityksen transkriptio:

1 Matematiikan käsitteet alkuopetuksessa
Esi- ja alkuopetuksen seminaari Leila Leino Jyväskylän yliopisto Opettajankoulutuslaitos

2 Perusopetuksen opetussuunnitelma vuosiluokat 1-2
matemaattisen ajattelun kehittäminen keskittymisen, kuuntelemisen ja kommunikoinnin harjaannuttaminen kokemusten hankkiminen matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden muodostumisen perustaksi

3 Matematiikan osa-alueet
luvut ja laskutoimitukset geometria mittaaminen tietojen käsittely ja tilastot

4 Luvut ja niiden ominaisuudet
lukumäärä, lukusana, numerosymboli vertailu, luokittelu, järjestäminen, lukujen hajottaminen ja kokoaminen kymmenjärjestelmän rakentumisen periaate kolme 3

5 Luvut ja laskutoimitukset
yhteen - ja vähennyslasku luonnollisilla luvuilla kertolaskua ja kertotauluja jakolaskua konkreettisilla välineillä

6 Geometria piste, jana, murtoviiva, puolisuora, kulma
kaksiulotteiset muodot: rakentaminen, piirtäminen, jäljentäminen kolmiulotteiset kappaleet: tunnistaminen ja rakentaminen peilauksia ja suurennoksia

7 Mittaaminen pituus, massa, aika, hinta pinta-ala, tilavuus
mittayksiköiden käyttö, vertailu ja muuntaminen

8 Tietojen käsittely ja tilastot
Taulukoiden ja diagrammien lukeminen Tietojen esittäminen

9 Bruner Jokainen käsite tai idea esitetään lapselle ensin toiminnallisesti, sitten kuvien avulla (ikonisesti) ja lopuksi symbolisesti.

10 Matemaattisten käsitteiden oppimisen hierarkia
puhe Mallit Konkreetit Kuviot Symbolit Välineet Operaatiot puhe puhe Toiminta Piirros Mielikuva

11 Montessorin konkreettinen oppimateriaali
oppimisympäristö ja tarkoin valikoidut opetusvälineet yksi väline yhtä tavoitetta varten vertailu ja päättely tavoitteena

12 Henkisten toimintojen asteittainen muodostuminen (Galperin)
1. orientoitumisvaihe 2. materiaalistettu vaihe 3. puhuttu (tai kirjoitettu) vaihe 4. sisäisen puheen vaihe (irti konkretiasta) 5. sisäistetty vaihe Yleistäminen Lyhentäminen Hallinta

13 Sisäistämisen aste eli toiminnan taso
5. Täysin kehittynyt toiminto 4. 3. 2. 1. Hallinnan aste Yleistämisen aste Lyhentämisen aste Lindgrenin mukaan

14 Galperinin teoria Kaikki toiminnan viisi vaihetta ovat tärkeitä opiskeltaessa uutta henkistä toimintoa. Minkä tahansa vaiheen jättäminen pois viivästytti käsitteen sisäistämistä. Suurimmat oppimisvaikeudet olivat oppilailla, joilta oli jätetty materiaalinen vaihe pois.

15 Dienes ja matemaattinen käsitteenmuodostus
dynaamisuuden periaate konstruktiivisuuden periaate matemaattisen varioinnin periaate havainnon varioinnin periaate

16 Dynaamisuuden periaate
Uuden käsitteen ymmärtäminen perustuu sykliseen prosessiin. 1. vapaamuotoinen leikki 2. materiaalin säännönmukaisuuksiin tutustuminen 3. käsitteen käyttöä harjoittavat leikit

17 Konstruktiivisuuden periaate
Lapsen rakennettava itse käsite kokonaisvaltaisesti ja intuitiivisesti omista kokemuksistaan lähtien. Tämä on matematiikan oppimisen kulmakivi.

18 Käsitteen kannalta epäoleellisten elementtien variointi /Dienes

19 Havainnon varioinnin periaate
Lapsi tarvitsee oppiakseen erilaisia ja eri aisteilla vastaanotettuja kokemuksia käsitteestä. Mallin ulkoinen muoto vaihtelee oleellisten piirteiden pysyessä muuttumattomina.

20 Keskeinen käsitteellinen ymmärrys luvuista (Case ym.)
Malli sisältää kognitiivisen kehityspsykologian tutkijoiden ajatuksia siitä, että matematiikka on kykyä ymmärtää lukumäärien ja lukujen ja numeroiden välisiä suhteita. Mallissa korostetaan myös lukujonotaitojen merkitystä (vrt. Piaget).

21 Lapsen määrällinen ajattelu, 4 v. (Case)
Lisäämällä saadaan … VÄHÄN PALJON Vähennettäessä jää… 1 2 3 4

22 1 2 3 4 5 6 v. YKSI KAKSI KOLME NELJÄ VIISI PALJON (suuri, pitkä,
K o s k e t t a m i n e n PALJON (suuri, pitkä, raskas, jne) VÄHÄN (pieni, lyhyt, kevyt, jne) V i s u a a l i n e n m a l l i M ä ä r ä +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 6 v.

23 Mentaalinen lukujono, 6 v.
lukujonossa pidemmällä olevat luvut viittaavat suurempiin lukumääriin yhteen - ja vähennyslaskutehtävien ratkaisu etenemällä eteen - tai taaksepäin lukujonossa. Matematiikka on tästä kehitysvaiheesta lähtien lapsen oman kontrollin alaista toimintaa. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 v. VÄHÄN PALJON

24 Kaksi mentaalista lukujonoa, 8v.
Noin kahdeksan vuoden iästä alkaen lapsella on käytössä kaksi mentaalista lukujonoa. Hän hallitsee kymmenjärjestelmän säännöt, jolloin hän ymmärtää paikka-arvon. Hän kykenee mm. kertomaan, kumpi luvuista 49 vai 51 on suurempi.

25 Kvantitatiivinen ajattelu
Lukumäärän säilyvyydessä on kyse kvantitatiivisesta ajattelusta. Kun lapsi pystyy lukumäärän säilymisen ymmärtämiseen, hän on kypsä ymmärtämään luvun kardinaalisen luonteen.

26 Lukumäärän säilymistehtävä

27 Kvalitatiivinen ajattelu
Sarjoittaminen edellyttää kvalitatiivista ajattelua. Kvalitatiivisen ajattelun pohjalta nousee luvun ordinaalisen (järjestykseen liittyvän) luonteen ymmärtäminen.

28 Lukukäsite Yksi yhteen –vastaavuuden ymmärrys ja sarjoittamisen taito ovat olennaisia kardinaalisuuden ja ordinaalisuuden hallitsemiselle. Luokittelu on perustaito, jota hyödynnetään lähes kaikessa matemaattisessa ongelmanratkaisussa. Lukukäsitteen ymmärtäminen luo pohjan koulumatematiikan oppimiselle.

29 Matemaattinen tieto (Hiebert)
koostuu menetelmällisestä ja käsitteellisestä tiedosta menetelmällinen tieto sisältää: a) Matemaattisen b) Algoritmit, muodollisen kielen säännöt ja menetelmät

30 a) Matemaattinen b) Algoritmit, muodollinen kieli säännöt ja
a) Matemaattinen b) Algoritmit, muodollinen kieli säännöt ja menetelmät *tarvitaan tehtäviä ratkaistaessa *ennalta määrätty järjestys on tärkeä *menetelmät jaetaan kahteen osaan niiden käsittelemien objektien mukaan: kirjoitetut symbolit (<, >, 4, + ) mielikuvat tai konkreetit objektit *matematiikan idean esittämiseen tarvittavien symbolien tunnistaminen *tieto siitä, minkä sääntöjen mukaan tehtävä kirjoitetaan

31 Käsitteellinen tieto Käsitteellinen tieto ei voi olla irrallinen tiedon palanen - tarvitaan linkki toisiin tiedon osasiin. Siis tieto on käsitteellistä vain mikäli tunnistetaan sen yhteys tiedon muihin osasiin. Linkittämisprosessi voi tapahtuu kahden vanhan tiedonpalasen välillä tai se voi tapahtua vanhan ja juuri opitun välillä

32 Käsitteellinen tieto Moninumeroisten lukujen yhteenlaskun ymmärtäminen: yhteys yhteenlaskualgoritmiin yhteys numeron paikka-arvoon kokonaislukujen yhteenlaskussa kohdakkain laitetaan saman paikka-arvon omaavat numerot

33 Käsitteenmuodostusprosessi Haapasalon mukaan
KÄSITTEEN MUOVAAMINEN orientoituminen määritteleminen KÄSITTEEN OMAKSUMINEN tunnistaminen tuottaminen lujittaminen

34 Kuvallinen-sanallinen-symbolinen
”5” Viisi vihreää palloa

35 Murtolukukäsite ”kolme neljäsosaa”
Sanallisesti Kolme palaa neljästä Kuvallisesti Symbolisesti Sadasosina Desimaalilukuna 0,75 Haapasalon mukaan

36 Sanalliset tehtävät Sanallisissa tehtävissä enemmän, vähemmän, lisää voivat johtaa oppilasta harhaan. Tehtävät kannattaa lukea ääneen ja keskustella niistä. Pohditaan yhdessä erilaisia ratkaisuvaihtoehtoja ja niiden oikeellisuutta. Oppilaan päättelykykyä kehittää eri ratkaisuvaihtoehtojen selittäminen ja perusteleminen.

37 Omat tehtävät Oppilaita ohjataan itse tekemään sanallisia tehtäviä ja tekemään tarinoita mekaanista tehtävistä. Tarinat voidaan liittää arkielämän tapahtumiin. Yhteistoiminnalliset työtavat ovat hyödyksi toiminnallisissa tuokioissa.

38 Matematiikan ymmärtäminen perustuu aiemmin opitun varaan
Lukualueella 0-20 on hyvä pysytellä niin pitkään, että oppilas hallitsee yhteen - ja vähennyslaskut tällä alueella. Mikäli oppilaalla on vaikeuksia 10 –ylityksen kanssa, kannattaa harjoitella lukujen hajottamista ja kokoamista kunnes 10 –ylitys automatisoituu.

39 Lähteitä Ahonen, T. ym Sanat sekaisin. Kielelliset oppimisvaikeudet ja opetus kouluiässä. Juva: Bookwell. Aunio, P Pienten lasten matemaattinen ajattelu. NMI Bulletin 1/2005. Case, R. ym The role of central conceptual structures in the development of children´s thought. Monographs of the Society for Research in Child Development, Vol 61, no. ½. Hiebert & Lefevre Procedural and conceptual knowledge. Lindgren, S Toiminnallisuuden ja puheen merkitys peruskoulun 4. luokan kevätlukukauden matematiikan oppisisältöjen sisäistämisessä. Tampereen yliopiston Hämeenlinnan opettajankoulutuslaitos. Julkaisu 17. Räsänen, P. ym. (toim) Matematiikka – näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen. Opetussuunnitelman perusteet