TANGENTTI Suora, joka sivuaa käyrää. Derivaatta on funktion tangentin kulmakerroin

30 cm 10 vrk

Miten derivaatta ilmaisee funktion joko kasvamisen tai vähenemisen? f’(x) = 0 f’(x) < 0 f’(x)>0

seuraa tangentin kulmakertoimen muuttumista FUNKTION KULKU seuraa tangentin kulmakertoimen muuttumista

seuraa derivaatan muuttumista FUNKTION KULKU seuraa derivaatan muuttumista f(x) f’(x) = 0 f’(x) >0 f’(x) < 0 f’(x) >0 f’(x) = 0

Funktion kasvaminen ja väheneminen Derivaatta on funktion tangentin kulmakerroin. Mitä arvoja?

Funktion kulun selvittäminen derivaatalla minimi- kohta maksimi- kohta

Funktio ja sen derivaatta Derivaatta on apuväline, jolla tutkitaan funktion kulkua Vaikka derivaattakin on funktio, niin pääosassa: itse alkuperäinen funktio f(x), jota tutkitaan statistina: derivaatta f’(x), jolla tutkitaan kasvua, vähenemistä Älä sekoita näitä keskenään!

Milloin funktio f(x) = 2x2 - 3x + 1 on kasvava? Ratk. Etsitään derivaatan nollakohta f’(x) = 4x - 3 = 0 (nouseva suora) Ylöspäin aukeava paraabeli x= 0,75 Vastaus: f(x) on kasvava, kun x > 0,75

Milloin funktio f(x) = x3 +2,5x2 -2x on vähenevä? Ratk. Etsitään derivaatan nollakohta/nollakohdat f’(x) = 3x2 + 5x - 2 = 0 (ylöspäin aukeava paraabeli) Vastaus: f(x) on vähenevä, kun f’(x) + + + - - - - - - + + + + f (x) -2

f(x) = -2x2 +4x + 6 a) Missä kohdassa on paraabelin huippu f(x) = -2x2 +4x + 6 a) Missä kohdassa on paraabelin huippu? b) Mikä on funktion arvo kyseisessä kohdassa? c) Mikä on huipun laatu? Ratk. a) f’(x) = -4x + 4 = 0 (laskeva suora) - 4x = -4 x = 1 a) Vastaus: x = 1 b) f(1) = -2 ·12 + 4 ·1 + 6 = 8 b) Vastaus: f(1) = 8 f’(x) + + + + + - - - - - - - - f’(x) 1 c) Vastaus: Maksimi max

Mikä on funktion f(x) = -2/3x3 +2x2 +6x +2 suurin ja pienin arvo välillä [-3,4] ? Ratk. f’(x) = -2x2 +4x + 6 (alaspäin aukeava paraabeli) -2x2 +4x + 6 = 0 (jaetaan -2:lla) x2 -2x - 3 = 0 Jatkuu -->

Funktion rajat -3 ja 4 Derivaatan nollakohdat -1 ja 3 Derivaatta alaspäin aukeava paraabeli f’(x) - - - - - + + + + + - - - f(x) -3 -1 3 4 Suurin arvo joko kohdassa -3 tai kohdassa 3 Pienin arvo joko kohdassa -1 tai kohdassa 4 Lasketaan ne kaikki kohdat ---> jatkuu

f(x) = -2/3x3 +2x2 +6x +2 f(-3) = -2/3·(-3)3 +2 ·(-3) 2 +6 ·(-3) +2 = 20 f(-1) = -2/3 ·(-1) 3 +2 ·(-1) 2 +6 ·(-1) +2 = -1,3 f(3) = -2/3·33 +2·32 +6·3 +2 =20 f(4) = -2/3·43 +2·42 +6·4 +2 = 15,3 Vastaus: Pienin arvo -1,3 ja suurin 20 kuvaaja --->

f(x) = -2/3x3 +2x2 +6x +2 välillä [-3,4]

Tehtävä Influenssaepidemian etenemistä yhdyskunnassa, jonka väkiluku on 20 000, ennustetaan käyttäen funktiota f(t) = 15t2 –t3 , 0 < t < 15. Funktio f(t) ilmaisee influenssaa sairastavien lukumäärän, kun epidemian alkamisesta on kulunut t vuorokautta. a)Laske sairastavien lukumäärä 5, 10 ja 12 vuorokauden kuluttua epidemian alkamisesta. b)Millä nopeudella sairastavien määrä lisääntyy 5, 10 ja 12 vuorokauden kuluttua epidemian alkamisesta?

Ratkaisu f(t) = 15t2 –t3 , 0 < t < 15 f’(t) = 30t -3t2 Nähdään, että epidemian huippu sattuu 10 päivän päähän ja siitä tartunta alkaa vähetä.

ÄÄRIARVOT (0,3) (1,-1) max min 2 f(0) = 03-3·02 +3 =3 2 f(0) = 03-3·02 +3 =3 f(2) = 23-3·22 +3 =-1

Mitkä ovat funktion f(x) = -x3+2x2+4x - 5 ääriarvokohdat ja ääriarvot? (2,3) Mitkä ovat funktion f(x) = -x3+2x2+4x - 5 ääriarvokohdat ja ääriarvot? (-1,7;-6,5) min max -2/3 2 f(-2/3) = -(-2/3)3+2·(-2/3)2 +4·(-2/3) -5=-6,5 f(2) = -23+2·22 +4·2 -5 = 3