2. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 2.1.1. Pinta-alan käsite Kirja, sivut 44 -45
Esim. 1 A = lim An n-> missä a, h kanta ja korkeus p monikulmion piiri
2.1.2. Pinta-ala porrassumman raja-arvona Funktion f porrassumma yli välin [0,4]
Porrassumman laskeminen Porrassummassa suikaleen ala saadaan valitsemalla korkeudeksi suikaleen puolivälissä oleva funktion arvo. Laske jakopisteet, jakovälin pituus x ja välin keskipiste xk. Laske f(x1)· x + f(x2)· x + … = Riemannin summa on porrassumma , missä xk:t voivat olla mitä tahansa välin x-koordinaatteja
Pinta-ala porrassummien raja-arvona Olkoon funktio f jatkuva ja ei-negatiivinen välillä [a, b] Tällöin suorien x = a, x=b, x-akselin ja käyrän y = f(x) rajoittaman alueen pinta-ala saadaan porrassummien raja-arvona, kun jakoa tihennetään rajattomasti niin, että kaikkien osavälien pituudet lähestyvät nollaa.
2.1.3 Ala- ja yläsumma Käyrän ja x-akselin välisen alan arvioiminen ylä- ja alasummien avulla. Jaetaan tarkasteluväli [a,b] n:ään yhtä suureen väliin x = (b - a) / n Yläsumma = Sn = missä Mk = f(xk) on funktion suurin arvo k:nnella välillä Alasumma = sn = missä mk = f(xk) on funktion pienin arvo k:nnella välillä
Jos alan arvoksi valitaan keskiarvo ½(s + S) = A, niin virhe on korkeintaan ± ½(S - s) A =½(7½+11½)=9,5 Virhe korkeintaan ½(11½ - 7½) = 2
2.1.4. Määrätty integraali Jos porrassummat lähestyvät tiettyä raja-arvoa, kun jakoa tihennetään rajattomasti niin raja-arvoa sanotaan funktion f määrätyksi integraaliksi välillä [a,b]. HUOM.! f:n ei tarvitse olla positiivinen. Merkintä ”määrätty integraali a:sta b:hen”
E.1. (t. 151 a) E.2. (t.151c)