Todennäköisyyslaskentaa 5.4 Normaalijakauma T055403
Yleistä normaalijakaumasta Gauss havaitsi planeettojen ratojen mittausvirheitä tutkiessaan, että virheet noudattavat likimain tiettyä jakaumaa. Normaalijakauma on tärkein jatku-va jakauma. T055403
Jos tutkittavan ilmiön satunnais-muuttujalle on ominaista, että - siitä saadaan suuri havainto- määrä - moni tekijä vaikuttaa siihen sa- manaikaisesti - mikään tekijä ei yksinään selitä vaihteluita, T055403
niin satunnaismuuttujan arvot jakautuvat likimain normaalisti. Jakauma noudattaa likimain Gaus-sin käyrää eli ns. kellokäyrää. Monet käytännön elämän asiat noudattavat normaalijakaumaa. T055403
Seuraavat ovat normaalijakautu-neita: - ihmisten henkiset ja fyysiset ominaisuudet - teollisuusprosesesseissa synty- vien tuotteiden ominaisuudet - mittausvirheet. T055403
Kun satunnaismuuttuja x noudattaa likimain normaalijakaumaa keskiar-vona ja keskihajontana , niin merkitään x ~ N(, ). Tällöin sen tiheysfunktio on T055403
Normitettu normaalijakauma Normitetussa normaalijakaumassa keskiarvo = 0 ja keskihajonta = 1. Normitetun normaalijakauman tiheysfunktio on T055403
Normitetun normaalijakauman kertymäfunktio on
Edellistä integraalia ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla. Siksi normitetun normaalijakauman kertymäfunktion arvoja on taulukoi-tu. Nämä arvot saa myös laskimesta. T055403
Esimerkki 1. Olkoon x ~ N (0, 1). Määritä a) P ( x 0), b) P ( x 1,54), c) P ( x - 0, 2), d) P (x 1). T055403
Esimerkki 2. Olkoon x ~ N (0, 1). Määritä a) P ( 0,55 < x < 2,22), b) P ( - 0,55 < x < 2,22). T055403
Yleinen normaalijakauma Yleisen normaalijakauman tapauk-sessa, eli kun x ~ N(, ), on sa-tunnaismuuttujan arvot normitetta-va. Tällöin tehdään muuttujanvaih-to T055403
Esimerkki 3. Satunnaismuuttuja x noudattaa normaalijakaumaa keskiarvona 11 ja keskihajontana 1,3. Millä toden-näköisyydellä a) x < 10, b) 7 < x < 9? T055403
Esimerkki 4. Pakkauskone on tarkoitettu 0,4 – 0,6 kg painavien pussien pakkaami-seen. Pakattujen tuotteiden keski-hajonta on 0,018 kg. Kuinka suu-reksi pakkausten keskipaino on konetta säätämällä asetettava, T055403
jotta pakkauksen paino on 90 % todennäköisyydellä suurempi kuin 0,480 kg?
Normaalijakauman ominai-suuksia Oletetaan, että satunnaismuuttuja x noudattaa normaalijakaumaa N(, ). Seuraavia ominaisuuksia voidaan käyttää hyväksi tilastollisessa päättelyssä. T055403
Satunnaismuuttujan arvoista - 68 % on välillä [ - , + ] [ - 1,96, + 1,96 ] - 99 % on välillä [ - 2,58, + 2,58 ] T055403