1. Joukko-oppi Merkinnät x kuuluu joukkoon A eli on joukon A alkio: x A x ei kuulu joukkoon A eli ei ole joukon A alkio: x A Kaksi joukkoa A ja B ovat samat eli identtiset, jos niissä täsmälleen samat alkiot: A = B Tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota
Venn-diagrammi E.1. a) 3 N b) ½ Q, ½ N E.2. a) {x Z | -2 < x < 3} = {-1, 0, 1, 2} b) {x Z | 2 < x < 3} = ”tyhjä joukko” 1.1.2 Osajoukko ja Venn-diagrammi Joukko A on joukon B osajoukko, jos jokainen joukon A alkio kuuluu myös joukkoon B A B E.3. a) N Z b) {1, 2 , 3} {1, 2, 3, 4 ,5 ,6} Venn-diagrammi A = {1, 2 , 3} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B A E 1, 2, 3 E A A 4, 5, 6 B
Venn-diagrammina: ks. muistiinpanot 1.1.3 Joukko-opin laskutoimitukset YHDISTE eli UNIONI, A B =niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B A B = { x E | x A tai x B} E B A E.4. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8} A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} Venn-diagrammina: ks. muistiinpanot
Jos leikkauksena tyhjä joukko, niin joukot erillisiä LEIKKAUS A B =niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A ja joukkoon B A B = { x E | x A ja x B} Jos leikkauksena tyhjä joukko, niin joukot erillisiä E B A E.5. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8} A B = {2, 4} Venn-diagrammina: ks. muistiinpanot
JOUKKO-OPILLINEN EROTUS KOMPLEMENTTI A = E \ A E A E \ A
E.6. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5, 6} a) A \ B = {1, 2 } B \ A = {4, 5, 6} b) A = E \ A = {4, 5, 6}
Jos A ja B ovat äärellisiä joukkoja, niin 1.1.4. Summaperiaate Jos A ja B ovat äärellisiä joukkoja, niin N(A B ) = N(A) + N(B) – N(A B) “lukumäärä” Erillisille joukoille: N(A B ) = N(A) + N(B) E.7. Korttipakasta otetaan hertat ja kympit. Kuinka monta korttia saadaan? A = {hertat} B = {kympit} A B = {herttakymppi} N(A) = 13 N(B) = 4 N(A B) = 1 N(A B ) = N(A) + N(B) – N(A B) = 13 + 4 – 1 = 16