4.2.2. Pienin ja suurin arvo suljetulla välillä f(x0) on funktion suurin (pienin) arvo, jos kaikilla määrittelyjoukon x:illä on voimassa f(x) £ f(x0) (f(x)  f(x0)) Jatkuvan funktion ääriarvolause Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä [a, b], niin sillä on aina suurin ja pienin arvo tällä välillä. Määritys Totea, että funktio on jatkuva suljetulla välillä Laske kaikki mahdolliset ääriarvokohdat: 1° f ´:n nollakohdat, 2° reunat, 3° f ´: n epäjatkuvuuskohdat (kärkikohdat) Laske funktion arvo kaikissa näissä kohdissa Näistä suurin (pienin) on funktion suurin (pienin) arvo

E.5. Laske funktion f(x) = x3 - 3x - 5 suurin ja pienin arvo välillä [0,3]. Funktio f on polynomifunktiona jva ja dva välillä [0,3] f’(x) = 3x2 – 3 f ’(x) = 0: 3x2 – 3 = 0 x = 1 x = 1 kuuluu välille [0, 3], x = -1 ei kuulu f(1) = -7 Välin päätepisteet f(0) = 03 – 3  0 – 5 = -5 f(3) = 13 V: Funktion suurin arvo on 13, pienin -7

4.2.3. Pienin ja suurin arvo ei-suljetulla välillä Lasketaan derivaatan nollakohdat ja merkit (sekä mahdolliset funktion ja derivaatan epäjatkuvuuskohdat) Hahmotellaan kulkukaaviolla funktion kulku, josta päätellään missä suurin / pienin arvo voi olla Lasketaan arvot mahdollisissa kohdissa ja kenties raja-arvo lähestyttäessä reunaa Näistä tehdään lopullinen päätelmä, mikä on suurin / pienin arvo

E.6. Mikä on funktion f(x) = x4 - 4x3 + 1 pienin arvo? Funktio f on polynomifunktion jva ja dva f’(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2(x – 3) NK: 4x2 = 0 x = 0 x – 3 = 0 x = 3 Kulkukaavio: 0 3 + + + 4x2 x - 3 f ’(x) f(x) - - + - - + min Kulkukaavion mukaan pienin arvo saavutetaan f(3) = 34 – 4  33 + 1 = -26

Funktio f on polynomifunktion jva ja dva f ’ (x) = 3x2 + 4x – 7 E.7. Määritä funktion f(x) = x3 + 2x2 - 7x + 3 pienin ja suurin arvo , kun x  -3. Funktio f on polynomifunktion jva ja dva f ’ (x) = 3x2 + 4x – 7 f’ (x) = 0: x = 1, x = -7/3 Kulkukaavio: -7/3 1 -3 + - + f ’(x) f(x) min max min Kulkukaavion mukaan pienin arvo saavutetaan joko x = -3 tai x = 1 f(-3) = (-3)3 + 2  (-3)2 – 7  (-3) + 3 = 15 f(1) = 1 + 2 – 7 + 3 = -1, pienin arvo Suurinta arvoa ei ole, koska limf(x) = 

4.2.4. Jatkuvan funktion arvojoukko Funktion y = f(x) määrittelyjoukko Mf koostuu kaikista niistä muuttujan x arvoista, joilla f(x) on määritelty. Arvojoukko Af koostuu vastaavista funktion arvoista f(x) Jos funktio jva ja jos sillä pienin arvo ja suurin arvo, niin Af = [pienin arvo, suurin arvo] (Jva funktio saavuttaa kaikki pienimmän ja suurimman arvonsa väliset arvot)

E.8. Mitkä arvot funktio f saa, kun f(x) = x3 - 3x2 x  [1,4] Funktio on jva ja derivoituva määrittelyjoukossaan. Joten se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteessä. f’ (x) = 3x2 – 6x f ’(x) = 0: x = 0 tai x = 2 f(0) = 0 f(2) = -4 f(1) = -2 f(4) = 16 Jatkuvan funktion ääriarvolauseen mukaan funktion pienin arvo on -4 ja suurin arvo on 16. Täten arvojoukko Af = [-4, 16]

4.3.2. Epäyhtälön todistaminen E.10. Todista x  3, x3  75x + 250 x3 -75x – 250  0 Määritämme suurimman arvon välillä [-, 3] Funktio f(x) = x3 -75x – 250 jva ja dva polynomifunktiona f’(x) = 3x2 – 75 f’(x) = 0: 3x2 – 75 = 0 x = 5 Kulkukaavion perusteella suurin arvo on on kohdassa -5 f(-5) = (-5)3 – 75(-5) -250 = 0 Koska suurin arvo on 0 niin x3 -75x – 250  0