11. Kaksi uhkapelaajaa heittää vuorotellen noppaa 11. Kaksi uhkapelaajaa heittää vuorotellen noppaa. Molemmat asettavat pottiin panokseksi 1000 €. Potin voittaa pelaaja, joka saa ensiksi kuutosen. Laske pelin aloittajan nettovoiton odotusarvo. K = ”6” E = ”ei 6” P(K) =1/6 P(E) = 5/6 Aloittaja voittaa: K, EEK, EEEEK, …. Näiden todennäköisyydet: Geometrinen sarja, a = 1/6, q = (5/6)2 Anne: Katso MAA13, vastaava esimerkki s. 165 Nettovoitto, - 1000, 1000
12. Osoita, että luku n4 – 1 on jaollinen luvulla 8 aina, kun n on pariton kokonaisluku. n = 2k + 1, k Z n4 – 1 = (n2 + 1)(n2 – 1) = ((2k + 1)2 + 1)((2k + 1)2 – 1) = (4k2 + 4k + 1 + 1)(4k2 + 4k + 1 – 1) = (4k2 + 4k + 2)(4k2 + 4k) = 2(2k2 + 2k + 1) 4(k2 + k) = 8(2k2 + 2k + 1)(k2 + k) Koska tekijänä 8, niin n4 – 1 on aina jaollinen luvulla 8. Anne: Parillinen luku 2k, Pariton 2k + 1 tai 2k – 1 Huomaa: Taas summan ja erotuksen tulon käyttöä
13. Osoita, että funktiolla f(x) = x5 + 2x3 + x + 6 + sinx on käänteisfunktio. Laske f ’(x) = 5x4 + 6x2 + 1 + cosx Koska cosx 0, niin f’ > 0 kaikkialla, jolloin f on aidosti kasvava, joten funtiolla käänteisfunktio f(0) = 05 + 2 03 + 0 + 6 + sin0 = 6 Anne: Vertaa meidän MAA13:n koe Kirjan (MAA13) esimerkki2ab, s. 86 ja ollaan tehty aiheiseen liittyviä tehtäviäkin