1.2. Tuloperiaate ja permutaatiot E.2. Äiti aikoo istuttaa puutarhaan 1 punaisen ja 1 keltaisen ruusun. Kaupan on 25 lajiketta punaisia ja 8 lajiketta keltaisia ruusuja. Montako erilaista istutusta hän voi tehdä? A= {punaiset} B ={keltaiset} N(A) = 25 N(B) = 8 N(A X B) = N(A) · N(B) = 25 · 8 = 200

Toistuvat valinnat Jos A on äärellinen joukko ja k  Z+ niin N(Ak) = N(A)k E.3. Noppaa heitetään kolme kertaa. Montako eri tulosmahdollisuutta on? A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} N(A) = 6 63 = 216

1.2.2. Permutaatiot Permutaatio = jono, jossa joukon kaikki alkiot ovat jossakin järjestyksessä Kertoma n! = 1 ·2 ·3 ·4 ·…. · n (n  Z+) 0! = 1 E.4. a) 3! = 6 b) 8! = 40 320

Permutaatioiden lukumäärän laskeminen Jos joukossa on n alkiota, on erilaisissa järjestyksissä olevia jonoja eli permutaatioita n! kpl E.5. a) Monessako eri järjestyksessä voi 15 oppilasta lähteä luokasta? b) Montako eri lukua voidaan muodostaa numeroista 1, 2, 3, 4 ja 5, kun jokaista käytetään kerran? c) Seitsemän veljestä istuu pitkälle penkille. i) Monellako tavalla he voivat istua? ii) Monellako tavalla he voivat istua, jos nuorin ja vanhin on oltava vierekkäin? a) 15! = 1,3 · 1012 b) 5! = 120

c) Seitsemän veljestä istuu pitkälle penkille. i) Monellako tavalla he voivat istua? ii) Monellako tavalla he voivat istua, jos nuorin ja vanhin on oltava vierekkäin? c) i) 7! = 5040 c) ii) 2! · 5! · 6 = 1440 Perusteluja ii:lle Nuorin ja vanhin voivat istua vierekkäin 2! tavalla (tai 2  1) Viisi muuta veljestä voivat istua 5! tavalla Punainen väri (vanhin / nuorin) – montako paikkaa - 6

E.6. Kuinka monella tavalla voidaan 8 henkilöstä valita järjestyksessä 5? I: 8 ·7 ·6 ·5 ·4 = 6720 II:

k-kombinaatio = osajoukko, jossa on k eri alkiota otettuna n-alkioisesta joukosta k-kombinaatioiden lukumäärän laskemiskaava: (binomikerroin) E.7. a) b) Laskin

E.8. a) Montako 3 hengen komiteaa voidaan valita 8 henkilön joukosta? b) Monellako tavalla voidaan 17 oppilaan ryhmästä valita 9 hengen pesäpallojoukkue? a) b)

E.9. Lottorivien määrä vuosien saatossa 1971 -1980 1980-1986 1986-

Maa, josta 3 korttia voidaan valita 4:llä tavalla Maa, josta 2 korttia E.10. Kirjan esimerkki 1, s. 28 Kuinka monella tapaa korttipakasta voidaan ottaa viisi korttia, joista a) Kolme on patoja ja kaksi herttoja b) Kolme on samaa maata ja kaksi toista samaa maata c) Kaksi on samaa maata ja kaksi toista samaa maata 3 pataa: 2 herttaa: Maa, josta 3 korttia voidaan valita 4:llä tavalla Maa, josta 2 korttia 3:lla tavalla Maat voidaan valita 4  3 tavalla Valintoja: = 22 308 = 267 696   12 

c) Maa voidaan valita: tavalla c) Kummankin maan kortit voidaan valita tavalla Viimeinen kortti voidaan valita kahdesta muusta maasta 26:lla tavalla    26 = 949 104