3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio Olkoon A ja B ei-tyhjiä joukkoja. Tulojoukon AB = {(x,y) | x A, yB} osajoukko on relaatio. Jos relaatiolle pätee, että jokaista xA kohti on olemassa täsmälleen yksi yB siten, että (x,y)f, niin sanomme relaatiota f kuvaukseksi. TMA.003 / L3 (16.9.2003)

A B f y x Sanomme, että Kuvausmerkintä ”f kuvaa x:n y:lle” A = määrittelyjoukko B = maalijoukko Sanomme, että ”f kuvaa x:n y:lle” ”y on x:n kuva” ” x on y:n alkukuva” Kuvausmerkintä f :AB, x  y f : x  y Funktiomerkintä y = f (x) TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Kuva on yksikäsitteinen, mutta alkukuva ei ehkä ole. Huomaa, että: Jokaisella A:n alkiolla on kuva, mutta kaikilla B:n alkioilla ei ehkä ole alkukuvaa. Kuva on yksikäsitteinen, mutta alkukuva ei ehkä ole. 1 2 3 4 a b c d TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Kuvaus on surjektio, jos jokainen B:n alkio on jonkin A:n alkion kuva Ei ole surjektio TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Kuvaus on injektio, jos jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva Ei ole injektio TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Kuvaus on bijektio, jos se on sekä surjektio, että injektio. ”yksi yhteen” –kuvaus (”one to one, onto” map) On bijektio TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Jos kuvaus f on bijektio, niin sillä on käänteiskuvaus f -1, joka saadaan ”kääntämällä nuolet”. x y f f -1 TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Esimerkki: Määritä käänteisfunktio funktiolle TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Funktion kuvaaja Funktion f kuvaaja on (x,y)-tason pistejoukko K = {(x,y) | y = f (x)}. y = f (x) ”arvo” kuva y x ”kohta” alkukuva ”nollakohta” on yhtälön f (x) = 0 juuri TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Funktio f on kasvava välillä (a,b), jos kaikilla x1, x2  (a,b) on voimassa x1 < x2  f(x1)  f(x2) f (x1) f (x2) x1 x2 TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Funktio f on vähenevä välillä (a,b), jos kaikilla x1, x2  (a,b) on voimassa x1 < x2  f(x1)  f(x2) f (x1) f (x2) x1 x2 TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Funktio f on aidosti kasvava välillä (a,b), jos kaikilla x1, x2  (a,b) on voimassa x1 < x2  f(x1) < f(x2) Funktio f on aidosti vähenevä välillä (a,b), jos kaikilla x1, x2  (a,b) on voimassa x1 < x2  f(x1) > f(x2) Funktio f on monotoninen välillä (a,b), jos se on kasvava tai vähenevä välillä (a,b). TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Yhdistetty funktio Olkoot f :A B ja g :BC funktioita. Yhdistetty funktio h = f◦g on funktio, jolle h(x) = g◦f (x) = g(f (x)) Sanomme, että f on sisäfunktio ja g on ulkofunktio. TMA.003 / L3 (16.9.2003)

Esimerkki: TMA.003 / L3 (16.9.2003)

g f x z y f-1 g-1 (g ◦ f )-1 = f -1 ◦ g-1 TMA.003 / L3 (16.9.2003)

3.2 eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponenttifunktio on muotoa TMA.003 / L3 (16.9.2003)

”x on a-logaritmi y:stä ” Yleisimmin käytetty kantaluku on Neperin luku e = 2.7183 Funktion f (x)=ex käänteisfunktio on luonnollinen logaritmi f -1(x) = ln x TMA.003 / L3 (16.9.2003)

TMA.003 / L3 (16.9.2003)

logaritmikaavoja (1) Jos a > 0, niin ax on aidosti kasvava x TMA.003 / L3 (16.9.2003)