Kreikkalaiset aakkoset

Esitys aiheesta: "Kreikkalaiset aakkoset"— Esityksen transkriptio:

1 Kreikkalaiset aakkoset
Engl. Lukuohje A  alpha (alfa) B  beta (beetta)   gamma (gamma)   delta (delta) E , epsilon (epsilon) Z  zeta (zeetta) H  eta (eetta)   theta (theetta) I  iota (iootta) K  kappa (kappa)   lambda (lamda) M  mu (myy) N  nu (nyy)   xi (ksii) O  omicron (omiikron)   pi (pii) P  rho (roo)   sigma (sigma) T  tau (tau)   upsilon (ypsilon)  ,  phi (fii) X  chi (khii)   psi (psii)   omega (oomega) TMA.003 / L2 ( )

2 Kerrattavia kaavoja Binomikaavat pitää muistaa, että tarvittaessa osaa käyttää TMA.003 / L2 ( )

3 potenssikaavat TMA.003 / L2 ( )

4 Juurikaavat reaaliluvuille
jos n on parillinen, niin (a0) ja (b 0) TMA.003 / L2 ( )

5 2.1. Joukko-oppia Jos a on joukon A alkio, niin merkitsemme a A
Jos a ei ole joukon A alkio, niin merkitsemme a A Joukon voi määritellä luettelemalla A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, …, 100} Jos alkioita on paljon, käytämme notaatiota Joukko = {x  perusjoukko | ehto} Esimerkiksi nollan ja yhden välissä olevien reaalilukujen joukko on F = {x R | 0<x<1} Jos kahdella joukolla A ja B on täsmälleen samat alkiot, ne ovat identtiset ja merkitsemme A = B. Muussa tapauksessa A  B TMA.003 / L2 ( )

6 Tyhjä joukko ={} on joukko, jossa ei ole yhtään alkiota.
Jos jokainen A:n alkio on myös B:n alkio, sanomme, että A on B:n osajoukko ja merkitsemme A  B Jos A on B:n osajoukko ja B:ssä on alkio, jota ei ole A:ssa, niin sanomme, että A on B:n aito osajoukko ja merkitsemme A  B Tyhjä joukko ={} on joukko, jossa ei ole yhtään alkiota. TMA.003 / L2 ( )

7 Perusjoukot N = {1,2,3,…} = luonnollisten lukujen joukko
Z = {…,-2,-1,0,1,2,…} = kokonaislukujen joukko Q = {x | x = m/n, n  0, m,n Z} = rationaalilukujen joukko R = reaalilukujen joukko C = kompleksilukujen joukko TMA.003 / L2 ( )

8 Joukkojen A ja B yhdiste (union) on joukko A  B = {x | x  A tai x  B }
TMA.003 / L2 ( )

9 Joukkojen A ja B leikkaus (intersection) on joukko A  B = {x | x  A ja x  B }
TMA.003 / L2 ( )

10 Joukkojen A ja B erotus (difference) on joukko A - B = {x | x  A ja x  B }
TMA.003 / L2 ( )

11 Erotusta E – A sanotaan joukon A komplementiksi, ja sille käytetään merkintöjä Ā, CA, tai Ac. Ā = {x E | x  A } E A TMA.003 / L2 ( )

12 2.2. Muuttujat, yhtälöt, lausekkeet
Muuttuja viittaa mitattavissa olevan suureen arvoon eli mittalukuun ja yksikköön. Muuttujaa merkitään kirjaimella Koulukurssissa muuttuja on melkein aina x, mutta jatkossa muuttujan nimi voi olla melkein mikä tahansa kirjain. Aina ei tarvitse käyttää muuttujaa, mutta usein sen käyttö kannattaa: TMA.003 / L2 ( )

13 Muuttujaa käytetään, kun halutaan sanoa jotakin hyvin yleistä
Kun käytämme muuttujaa, voidaan sen arvoon viitata jo ennen sen arvon selviämistä. (ANALYYSI) Jos ongelmalle on useita ratkaisuja, ja se ratkaistaan ”suoraan laskemalla” tai kokeilemalla, jää osa ratkaisuista helposti havaitsematta. TMA.003 / L2 ( )

14 Yhtälö on kahden lausekkeen välille merkitty yhtäsuuruus.
Se luku, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälöstä toden on yhtälön juuri (root). Yhtälöllä voi olla monta juurta. Kaikki yhtälön juuret muodostavat yhtälön ratkaisujoukon Rj. TMA.003 / L2 ( )

15 Esimerkki: Vaihtoehtoisesti: ” x = 0 tai x = 3 ” ” juuret ovat 0 ja 3 ” ” ratkaisujoukko on Rj = {0,3} ” TMA.003 / L2 ( )

16 Jos yhtälöllä ei ole juuria sanomme sen jollakin seuraavista tavoista: ” yhtälöllä ei ole juuria ” ” ratkaisujoukko on tyhjä, Rj =  ” ” yhtälö on identtisesti epätosi ” TMA.003 / L2 ( )

17 Itseisarvo Luvun a itseisarvo |a| on (siis )
Itseisarvo voidaan tulkita luvun a ja 0:n välisenä etäisyytenä lukusuoralla TMA.003 / L2 ( )

18 Olkoon b>0. |x |  b  -b  x  b |x | = b  x = -b tai x = b
TMA.003 / L2 ( )

19 Kompleksiluvut Kompleksiluvuilla a +ib lasketaan normaalisti. Riittää muistaa, että i 2 = -1 z = a + ib ~ (a,b) b a TMA.003 / L2 ( )

20 z1.z2 = (2-3i )(-3+i ) = = -6 +2i +9i -3i 2 = -3 + 11i
Olkoon z1=2-3i ja z2 = -3+i z1 + z2 = (2-3i )+(-3+i ) = -1-2i z1.z2 = (2-3i )(-3+i ) = = -6 +2i +9i -3i 2 = i Talousmatematiikassa kompleksilukuja esiintyy matriisien ominaisarvoina ja vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöi-den karakteristisen yhtälön juurina. TMA.003 / L2 ( )

21 TMA.003 / L2 ( )

22 TMA.003 / L2 ( )

23 TMA.003 / L2 ( )

24 TMA.003 / L2 ( )

25 TMA.003 / L2 ( )

26 TMA.003 / L2 ( )

27 TMA.003 / L2 ( )