TMA.003 / L3 ( )1 3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio Olkoon A ja B ei-tyhjiä joukkoja. Tulojoukon A  B = {(x,y) | x  A, y  B} osajoukko on relaatio. Olkoon A ja B ei-tyhjiä joukkoja. Tulojoukon A  B = {(x,y) | x  A, y  B} osajoukko on relaatio. Jos relaatiolle pätee, että jokaista x  A kohti on olemassa täsmälleen yksi y  B siten, että (x,y)  f, niin sanomme relaatiota f kuvaukseksi.

TMA.003 / L3 ( )2 Sanomme, että ”f kuvaa x:n y:lle” ”y on x:n kuva” ” x on y:n alkukuva” Kuvausmerkintä f :A  B, x  y f : x  y Funktiomerkintä y = f (x) x y f A B A = määrittelyjoukko B = maalijoukko

TMA.003 / L3 ( ) a b c d Huomaa, että: Jokaisella A:n alkiolla on kuva, mutta kaikilla B:n alkioilla ei ehkä ole alkukuvaa. Kuva on yksikäsitteinen, mutta alkukuva ei ehkä ole.

TMA.003 / L3 ( )4 Kuvaus on surjektio, jos jokainen B:n alkio on jonkin A:n alkion kuva Ei ole surjektioOn surjektio

TMA.003 / L3 ( )5 Kuvaus on injektio, jos jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva Ei ole injektioOn injektio

TMA.003 / L3 ( )6 Kuvaus on bijektio, jos se on sekä surjektio, että injektio. On bijektio ”yksi yhteen” –kuvaus (”one to one, onto” map)

TMA.003 / L3 ( )7 Jos kuvaus f on bijektio, niin sillä on käänteiskuvaus f -1, joka saadaan ”kääntämällä nuolet”. x y f f -1

TMA.003 / L3 ( )8 Esimerkki: Määritä käänteisfunktio funktiolle

TMA.003 / L3 ( )9 Funktion kuvaaja Funktion f kuvaaja on (x,y)-tason pistejoukko K = {(x,y) | y = f (x)}. Funktion f kuvaaja on (x,y)-tason pistejoukko K = {(x,y) | y = f (x)}. x y ”kohta” alkukuva ”arvo” kuva ”nollakohta” on yhtälön f (x) = 0 juuri y = f (x)

TMA.003 / L3 ( )10 Funktio f on kasvava välillä (a,b), jos kaikilla x 1, x 2  (a,b) on voimassa x 1 < x 2  f(x 1 )  f(x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) x1x1 x2x2

TMA.003 / L3 ( )11 Funktio f on vähenevä välillä (a,b), jos kaikilla x 1, x 2  (a,b) on voimassa x 1 < x 2  f(x 1 )  f(x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) x1x1 x2x2

TMA.003 / L3 ( )12 Funktio f on aidosti kasvava välillä (a,b), jos kaikilla x 1, x 2  (a,b) on voimassa x 1 < x 2  f(x 1 ) < f(x 2 ) Funktio f on aidosti vähenevä välillä (a,b), jos kaikilla x 1, x 2  (a,b) on voimassa x 1 f(x 2 ) Funktio f on monotoninen välillä (a,b), jos se on kasvava tai vähenevä välillä (a,b).

TMA.003 / L3 ( )13 Yhdistetty funktio Olkoot f :A  B ja g :B  C funktioita. Yhdistetty funktio h = f◦g on funktio, jolle h(x) = g◦f (x) = g(f (x)) Sanomme, että f on sisäfunktio ja g on ulkofunktio.

TMA.003 / L3 ( )14 Esimerkki:

TMA.003 / L3 ( )15 x y z f g g-1g-1 f-1f-1 (g ◦ f ) -1 = f -1 ◦ g -1

TMA.003 / L3 ( ) eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponenttifunktio on muotoa

TMA.003 / L3 ( )17 ”x on a-logaritmi y:stä ” Yleisimmin käytetty kantaluku on Neperin luku e = Funktion f (x)=e x käänteisfunktio on luonnollinen logaritmi f -1 (x) = ln x

TMA.003 / L3 ( )18

TMA.003 / L3 ( )19 (1) Jos a > 0, niin a x on aidosti kasvava  xlogaritmikaavoja

TMA.003 / L3 ( )20 4. Differentiaalilaskentaa 4.1. Raja-arvo ja jatkuvuus Funktio ei ole määritelty kohdassa x = 1. Voimme kuitenkin laskea lausekkeen arvoja lähellä kohtaa x = 1.

TMA.003 / L3 ( )21

TMA.003 / L3 ( )22 Jos funktion f (x) arvo lähestyy lukua b, kun x lähestyy arvoa a, niin sanomme, että ”funktiolla f on raja-arvo b, kun x lähestyy arvoa a ”. Silloin käytetään jotakin seuraavista merkinnöistä:

TMA.003 / L3 ( )23 Täsmällisemmin: a b

TMA.003 / L3 ( )24 a b

TMA.003 / L3 ( )25 a b

TMA.003 / L3 ( )26 Symboli  tarkoittaa ääretöntä. Merkintä x   luetaan ”x lähestyy ääretöntä” ja se tarkoittaa, että ’x kasvaa rajatta’. Esimerkiksi: Merkintä tarkoittaa, että 1/x lähestyy nollaa, kun x kasvaa rajatta. x y = 1/x

TMA.003 / L3 ( )27 Raja-arvon määritys: ks. opetusmoniste s Funktio f on jatkuva kohdassa x 0, jos Tämä sisältää kolme ehtoa: 1.funktion arvo on määritelty kohdassa x 0 2.funktion raja-arvo on olemassa kohdassa x 0 3.arvo ja raja-arvo ovat samat ks. kuva s. 44

TMA.003 / L3 ( )28 Funktio f on jatkuva välillä (a,b), jos se on jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Funktio f on paloittain jatkuva välillä (a,b), jos se on jatkuva välin pisteissä lukuun ottamatta äärellistä määrää epäjatkuvuuskohtia. Jatkuva Paloittain jatkuva

TMA.003 / L3 ( )29 xx x0+xx0+x x0x0  y = f (x 0 +  x) – f (x 0 ) Funktion erotusosamäärä on y = f (x) 4.2. Derivaatta

TMA.003 / L3 ( )30 Erotusosamäärä  kuvaajan jyrkkyys. (Sitä parempi arvo, mitä pienempi  x.) Määritelmä: Jos erotusosamäärällä on äärellinen raja-arvo, kun  x  0, niin tätä raja-arvoa sanotaan funktion f derivaataksi kohdassa x 0. Siis Jos y = f (x), niin derivaatalle käytetään jotakin seuraavista merkinnöistä:

TMA.003 / L3 ( )31 Derivoimissääntöjä: (1) (2) summa esim. (3) tulo (4) osamäärä

TMA.003 / L3 ( )32 (5) Yhdistetyn funktion derivaatta Esim. (6) Käänteisfunktion derivaatta Esim.

TMA.003 / L3 ( )33 (7) Trigonometriset funktiot (8) Eksponenttifunktio (9) Logaritmifunktio

TMA.003 / L3 ( )34 x0x0 y = f (x) Tangentin kulmakerroin on f ’(x 0 ) Jos f ’(x 0 ) > 0 välin (a,b) kaikissa pisteissä, niin f (x) on kasvava koko välillä. f ’ > 0 f kasvava f ’ < 0 f vähenevä f ’ = 0 max