1.5. Trigonometriset yhtälöt 1. Yhtälön sin x = sin y ratkaiseminen x = y + n · 360° tai x = 180° - y + n · 360° , n Z x = y + n · 2p tai x = p - y + n · 2p , n Z (eli kulmat ovat samat tai suplementtikulmia) E.1. a) sin x = sin 20° b) sin 2x = sin 20° c) sin 2x = sin x a) x = 20 + n 360 tai x = (180 - 20) + n 360 x = 20 + n 360 tai x = 160 + n 360 b) 2x = 20 + n 360 tai 2x = (180 - 20) + n 360 2x = 20 + n 360 tai 2x = 160 + n 360 x = 10 + n 180 tai x = 80 + n 180
E.1. c) sin 2x = sin x 2x = x + n 360 tai 2x = (180 - x) + n 360 x = n 360 tai 3x = 180 + n 360 x = n 180 tai x = 60 + n 120
2. Yhtälön cos x = cos y ratkaiseminen x = y + n · 360° tai x = -y + n · 360° , n Z x = y + n · 2p tai x = - y + n · 2p , n Z (eli kulmat ovat samat tai vastalukuja ) E.2. Ratkaise a) cos x = cos 40° b) cos 2x = cos p/3 x = 40 + n 360 tai x = -40 + n 360
E.2. b) cos 2x = cos p/3 tai tai
3. Yhtälön tan x = tan y ratkaiseminen x = y + n · 180° EHDOT: x ¹ 90° + n · 180° ja y ¹ 90° + n · 180° x = y + n · p EHDOT: x ¹ ½p + n · p ja y ¹ ½p + n · p, n Z E.3. Ratkaise a) tan x = tan 54° b) tan 2x = tan ¼p a) x = 54 + n b)
Tietyllä alueella olevien ratkaisujen määrittäminen 1) Ratkaistaan yhtälö täydellisesti 2) Lasketaan eri n:n arvoilla (0, ±1, ±2, …) saatavia ratkaisuja 3) Valitaan niistä ne, jotka ovat halutulla alueella E.4. Määritä yhtälön sin 2x = sin 30° ne ratkaisut, jotka ovat välillä [-180°, 270°]. 2x = 30 + n 360 tai 2x = (180 - 30) + n 360 2x = 30 + n 360 tai 2x = 150 + n 360 x = 15 + n 180 tai x = 75 + n 180 x = -165 tai x = 15 tai x = 195 x = -105 tai x = 75 tai x = 255
4. Yhtälön sin x = a ratkaiseminen Etsitään kulma a, jolle sin a = a Korvataan a sin a:lla Ratkaistaan kuten 1 E.5. Ratkaise sin x = 0,6 sin x = sin 36,9 x = 36,9 + n 360 tai x = (180 - 36,9) + n 360 x = 36,9 + n 360 tai x = 143,1 + n 360
5. Yhtälön cos x = a ratkaiseminen Etsitään kulma a, jolle cos a = a. Korvataan a cos a:lla. Ratkaistaan sitten kuten 2 E.6. Ratkaise cos 3x = 0,4 cos3x = cos66,4 3x = 66,4 + n 360 x = 22,1 + n 120