Texas Essential Knowledge and Skills (TEKS) Lähde: Texas Essential Knowledge and Skills (TEKS) §111.24. Mathematics, Grade 8. (8.7)  Geometry and spatial reasoning. The student uses geometry to model and describe the physical world. The student is expected to: (C)  use pictures or models to demonstrate the Pythagorean Theorem (8.9)  Measurement. The student uses indirect measurement to solve problems. (A)  use the Pythagorean Theorem to solve real-life problems; and (B)  use proportional relationships in similar two-dimensional figures or similar three-dimensional figures to find missing measurements.

Suorakulmaisen kolmion osien ratkaiseminen Kulmien ja sivun pituuksien ratkaiseminen

Suorakulmaisen kolmion osien ratkaiseminen “Erikoiset kolmiot” Pythagoraan lause Trigonometriset funktiot

Katsotaanpa perusasioita Ennen kuin aloitamme Katsotaanpa perusasioita

Mikä on kolmio ? Yksi geometrian peruskuvioista: monikulmio, jossa on kolme kärkipistettä ja kolme suoraa sivua. Kolmiossa on aina kolme sivua. 3) Kolmion kulmien summa on 180 astetta . 4) Kolmioita on neljää tyyppiä • tasasivuinen kolmio • tasakylkinen kolmio • suorakulmainen kolmio • erisivuinen ( usein tylppäkulmainen) kolmio

Tasasivuinen kolmio • 3 yhtäpitkää sivua • 3 yhtäsuurta kulmaa. • koska kulmien summa on 180º silloin yksi kulma on 180 jaettuna 3:lla eli 60º. 60 60 60

Tasakylkinen kolmio • 2 yhtäpitkää sivua (kyljet) • 2 yhtäsuurta kulmaa( kantakulmat). Voidaan kutsua myös teräväkulmaiseksi Δ:ksi. Kaikki kulmat ovat alle 90O “X” 70 70 Oheisessa esimerkissä: Koska kulmien summa on 180˚ niin: 180 - (70+70) → x = 40˚

Erisivuinen kolmio • Sivut ovat erimittaiset • Kaikki kulmat ovat erisuuret. • Mutta kulmien summa on edelleen 180º. Voidaan kutsua myös “tylppäkulmaiseksi” Δ:ksi. Yksi kulma on suurempi kuin 90O

Suorakulmainen kolmio • Yksi kulma on suora kulma= 90˚) • Kahden muun kulman summa on 90˚ Suoran kulman vastainen sivu on hypotenuusa 90 Koska kolmion kulmien summa on 180˚ suorakulmaisessa kolmiossa voi olla vain yksi 90˚:een kulma.

Erikoiskolmioita 45-45-90 kolmio 30-60-90 kolmio

45-45-90 kolmio B x√2 x A C x Hypotenuusan pituus on sivun (x) pituus kerrottuna √2

30-60-90 kolmio B c = 2x a = x C A b = x√3 Hypotenuusan pituus (sivu c) on kaksi kertaaa 30O kulman vastaisen sivun (sivu a) pituus (c:n pituus : 2x). Kolmannen sivun (sivu b) on √3 kertaa 30O kulman vastaisen sivun (sivu a) pituus. (b:n pituus : x√3 )

Pythagoraan lause Mistä se on tullut ? Mitä se tarkoittaa?

Kuka Pythagoras oli? Pythagoras oli Samos-saarelta Eli noin 582–507 eKr Kreikkalainen matemaatikko ja filosofi. Parhaiten tunnettu Pythagoraan lauseesta. Tunnetaan myös “Numeroiden isänä“ Pythagoras ja hänen oppilaansa uskoivat, että kaikki asiat liittyvät matematiikkaan.

Pythagoraan lause kuuluu a2 + b2 = c2

a2 + b2 = c2 Suorakulmaisessa kolmiossa kateetti (sivu a) a:n neliö plus kateetti (sivu b) b:n neliö on yhtäsuuri kuin hypotenuusan (sivu c) c neliö a2 + b2 = c2

Suorakulmaisten kolmioiden osien ratkaisemisesta Pythagoraan lauseen avulla

B c hypotenuusa a A C b

a2 + b2 = c2 22 + 62 = c2 4 + 36 = c2 c2 = 40 c = √40→ √4x10 → 2√10 esimerkki:1 B c = 2√10 2 A C 6 a2 + b2 = c2 22 + 62 = c2 4 + 36 = c2 c2 = 40 c = √40→ √4x10 → 2√10

esimerkki:2 B c = 5√5 5 A C 10 a2 + b2 = c2 52 + 102 = c2 25 + 100 = c2 125 = c2 c = √125 → √5x25 → 5√5

a2 + b2 = c2 42 + b2 = 82 16 + b2 = 64 b2 = 48 b = √48 → √16x3 → 4√3 esimerkki:3 B 8 4 A C b = 4√3 a2 + b2 = c2 42 + b2 = 82 16 + b2 = 64 b2 = 48 b = √48 → √16x3 → 4√3

Kertausta opitusta Kolmiossa on aina kolme sivua Kolmion kulmien summa on 180 astetta. On olemassa 4 erityyppistä kolmiota • tasasivuinen kolmio • tasakylkinen kolmio • suorakulmainen kolmio • erisivuinen kolmio

Kaikkiin suorakulmaisiin kolmioihin pätee Pythagoraan lause Kertaus jatkuu 2 erityistä suorakulmaista kolmiota 30 – 60 – 90 45 – 45 – 90 Kaikkiin suorakulmaisiin kolmioihin pätee Pythagoraan lause a2 + b2 = c2