2.2. komplementtisääntö ja yhteenlaskusääntö 2.2.1. Mahdoton ja varma tapahtuma Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys = 0: P() = 0 Varman tapahtuman todennäköisyys = 1: P(E) = 1 0  P(A)  1 2.2.2. Komplementtisääntö Komplementtitapahtuma tapahtumalle A = ”ei-A” = kaikkien niiden alkeistapausten joukko, jotka eivät kuulu tapahtumaan A: Ā

E.1. Mikä on A:n komplementtitapahtuma, kun a) A = luku on positiivinen b) A = tehtäviä on vähintään 44 c) A = ainakin yksi oppilas myöhästyy a) Ā = luku 0 tai negatiivinen b) Ā = tehtäviä on korkeintaan 43 c) Ā = kukaan oppilaista ei myöhästy Komplementtisääntö P(A ei satu) = 1 – P(A sattuu) E A P(A sattuu) = 1 - P(A ei satu) A

E.2. Sateen todennäköisyys on 30%. Millä todennäköisyydellä ennusteen päivänä ei sada? A ={sataa} P(A) = 0,3 Ā = {ei sada}

Komplementtisääntöä kannattaa käyttää: Kun vastatapahtumaan ” A ei satu ” kuuluu vähemmän alkeistapauksia kuin tapahtumaan ” A sattuu ”. ”Ainakin, vähintään, enintään, korkeintaan, …”

E.3. Heitetään kahta noppaa. Millä todennäköisyydellä silmälukujen summa on vähintään 3? A = {silmälukujen summa vähintään 3} Ā = {silmälukujen summa 2} P(A) = 1 – P(Ā) = 1 - 1/36 = 35/36

2.2.3. Yhteenlaskusääntö Erillisten tapausten yhteenlaskusääntö A Ç B = Æ eli A:n ja B:n leikkausjoukko on tyhjä P(A tai B) = P(A) + P(B) tai joukko-opillisin merkinnöin P(A È B) = P(A) + P(B) Sana, joka viittaa yhteenlaskusäännön käyttöön: TAI

E.4. Luokan puheenjohtajaksi on ehdolla 5 oppilasta. Maijan valitsemisen todennäköisyys on 0,45 ja Matin 0,32. Millä todennäköisyydellä a) Maija tai Matti tulee valituksi b) Maija ei tule valituksi c) ei Matti eikä Maija tule valituksi? A={Maija tulee valituksi} B={Matti tulee valituksi} P(A) = 0,45 P(B) = 0,32 a) P(A tai B) = 0,45 + 0,32 = 0,77 b) P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 0,45 = 0,55 c) P(ei Matti eikä Maija tule valituksi) = 1 – (0,45 + 0,32) = 0,23

Yleinen yhteenlaskusääntö Kun tapahtumat A ja B eivät ole erillisiä: P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A ja B) joukko-opin merkinnöin P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

E.5. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu positiivinen kokonaisluku on jaollinen 3:lla tai 5:lla? A = ”jaollinen 3:lla” B = ”jaollinen 5:llä” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18