Yleistä Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen

Slides:

Advertisements

Samankaltaiset esitykset

Funktiot sini, kosini ja tangentti

Advertisements

Polynomifunktiot MA 02 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys

Funktiot ja yhtälöt MA 01 Läsnäolovelvollisuus 100 %

Yhtälön ratkaiseminen

Lineaarisia malleja.

5.1. Tason yhtälö a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

Analyyttinen geometria MA 04

Integraalilaskenta MA 10

Logaritmien laskusäännöt

Vektorit MA 05 Mihin lukiolainen tarvitsee matematiikkaa

Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12

Geometria MA 03 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys

Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa.

Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle

KERTAUSTA PERUSASTEEN MATEMATIIKASTA Piia junes

Rajoitetut jonot 1. Alhaalta rajoitettu jono

LOGARITMI Eksponenttiyhtälön 10x = a ratkaisua sanotaan luvun a logaritmiksi Merkintä x = lga Huom. vain positiivisilla luvuilla on logaritmi.

TMA.003 / L3 ( )1 3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio Olkoon A ja B ei-tyhjiä joukkoja. Tulojoukon A  B = {(x,y) | x  A, y  B} osajoukko on.

3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio

RSA – Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä Perusteet, algoritmit, hyökkäykset Matti K. Sinisalo, FL.

1.2. Perusyhteydet ja –kaavat Suplementtikulmat x ja  - x

1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA

1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot

11. Kaksi uhkapelaajaa heittää vuorotellen noppaa

UMF I Luento 1. Aika Luennot, Klo 14–16 to 4.9 – ke 10.9 ke 24.9 – ke 1.10 ke – pe Demot, Klo 10–12/12–14/14–16 Pe 12.9, Ti 16.9, Pe 19.9.

1.a) f(x) = 2x(x2 – 3) = 0 2x = tai x2 – 3 = 0 x = tai x2 = 3

TÄRPPEJÄ – YO 2010 PITKÄ MATEMATIIKKA.

Pienin ja suurin arvo suljetulla välillä

Raja-arvon määritelmä

Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen.

Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen.

2.4. Raja-arvo äärettömyydessä ja raja-arvo ääretön E.1.

Funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot

Jatkuvan funktion nollakohdat

Ketjusääntö Ketjusääntö z = g (y) y = f (x) x z x+x y y+y z+z

Murtoyhtälöt - Yhtälö, jossa nimittäjässä tuntematon

3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Neliöjuurifunktion derivaatta (todistus: ks. kirja, s. 39)

Analyysi II Katsaus.

3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ

PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)

1.4. Integroimismenetelmiä

1. INTEGRAALIFUNKTIO.

Kymmenkantainen logaritmi

Suoran yhtälön muodostaminen

Virtuaalinen analyysin peruskurssi

7. Määritä sellaisen ympyräsektorin keskuskulma, jonka pinta-ala on 1 ja piiri mahdollisimman lyhyt. Anna tulos 0,1 asteen tarkkuudella. Keskuskulma =

4.1. Funktion ääriarvot Funktion kasvu ja väheneminen

Monotoniset jonot Jono (a n ) on kasvava, jos  n : a n+1  a n aidosti kasvava, jos  n : a n+1 > a n aidosti vähenevä, jos  n : a n+1 < a n vähenevä,

Virtuaalinen analyysin peruskurssi

Juurifunktio potenssifunktion käänteisfunktiona

Samankantaisten potenssien kerto- ja jakolasku

UMF I Luento 3. Maanantaiksi Lue kappaleet I.3 ja I.4 Laske funktion x + y 2 osittaisderivaatat määritelmän II.1.1 nojalla Anna esimerkki funktiosta f.

Funktiokone π, ½, -2, 4  17, -2, 1, 3  f(π), f(½), f(-2), f(4) f Siis: f(π)=7, f(½)=-2, f(-2)=1, f(4)=3 (riippuvuussääntö on tuntematon)

Paraabelin huippu Paraabelin huippu

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) (x) = g(f(x))

3.3. Käyrän tangentti ja normaali

Neperin luku e ja funktio y = ex

Funktion jatkuva kohdassa x = x0 joss

Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta

Ekspontentiaalinen kasvu

TANGENTTI Suora, joka sivuaa käyrää.

Mitä osattava (minimivaatimus)?. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen –Huom! Määrittelyehdot Peruslaskutoimitukset –polynomien erityisesti binomin.

MATEMAATTISIA MALLEJA I Mab 3 Meri Sirkeinen Siikajoen lukio.

Funktion kuvaaja ja nollakohdat

Suoran yhtälön muodostaminen, kun suoralta tunnetaan 2 pistettä

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

Kertausta FUNKTIOISTA MAB5-kurssin jälkeen (Beta 2.0)

Esityksen transkriptio:

Yleistä Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen Tuntiaktiivisuus Kotitehtävien tekeminen Tunnit muodostavat n. 50 % matikan oppimisesta

Derivaatta MA 08 Sekantti Tangentin kulmakerroin on derivaatta kohdassa a.

Vaihtoehtoinen tapa derivaatan määritelmään

Esim.

Esim. Missä kohdissa funktio ei ole derivoituva? Missä kohdissa funktio ei ole jatkuva? Mikä on funktion derivaatta muissa kohdissa?

Derivoimissääntöjä kurssilta 7

Derivaatta ja monotonisuus Funktio on kasvava, kun f ’ (x) > 0. f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

Derivaatta ja monotonisuus Funktio on vähenevä, kun f ’ (x) < 0. f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

Funktion suurin ja pienin arvo Funktio saa pienimmän ja suurimman arvonsa suljetulla välillä [a,b] joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä kohdissa, joissa derivaattaa ei ole

Kuva f ’ (x) = 0

HUOM! Funktion suurin ja pienin arvo voivat olla myös kohdissa, missä derivaattaa ei ole

Juurifunktiot –ja yhtälöt

Juurifunktion määritelmä s. 14 n pariton: voi aina ottaa parittoman juuren n parillinen: parillista juurta EI voi ottaa negatiivisesta luvusta. Ts. xn ≥ 0, kun n on parillinen

Funktion määrittelyjoukko HUOM! Parittoman juuren voi ottaa mistä tahansa luvusta. Mutta parillisen juuren vain, jos luku on suurempaa tai yhtäsuurta kuin nolla

Esim. Huom! 3 – 2x ≥ 0. Miksi? Lue s. 17 alareuna

Murtopotenssifunktiot

Esim.

Derivointikaavan käyttöä

Derivointikaavan käyttöä

Esim.

Esim. Suurin ja pienin arvo löytyvät aina derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. Tai kohdista, missä derivaattaa ei ole.

Sovelluksia

Esim.

Esim.

Logaritmi Ilmaise luvut 8 5 1 1/16 luvun 2 potensseina f(x) = 2x

Logaritmin määritelmä Luvun a k-kantainen logaritmi on eksponenttiyhtälön kx = a ratkaisu a>0 ja k>0 ja lisäksi k erisuuri kuin 1

Logaritmifunktio

Esim.

Esim.

Kymmenkantainen logaritmi

Esim.

Logaritmikaavat

Logaritmikaavojen perustelua logk a = x eli kx = a Tästä seuraa, että as =(kx)s = kxs Eli logk as = xs = sx = s logk a Opi s. 76 tulon logaritmin kaava

Esim.

Esim.

Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen

Esim.

Esim.

Esim.

Neperin luku Mikä luvun k tulee olla, jotta funktion kx derivaatta kohdassa 0 on 1. f ’(0)>1 f ’(0)<1

Neperin luku On nähtävissä, että luvun tulee olla lukujen 2 ja 3 välillä. Tämä luku on ns. Neperin luku e ~ 2,718 S. 89 On osoitettavissa, että jos f(x) = kx, niin f ’(x) = f ’(0)f(x)

Funktion ex kuvaaja ja tangentti pisteessä x=0 Siis f(x)= ex ja f ’ (0) = e0 =1 Eli Dex = f ’(0)f(x) = 1*ex = ex

ex derivaatta

Luonnollinen logaritmi kantalukuna neperin luku e ln x = lnex

Esim.

Esim.

Luonnollinen logaritmi

Esim.

Yhdistetty funktio

Yhdistetyn funktion derivoimissääntö

ef(x) derivoimissääntö

Eksponenttifunktion derivaatta

Esim.

Esim. Vihje 1. Heitä kaikki termit samalle puolelle Vihje 2. Laske suurin ja pienin arvo

Funktio lnx

Funktion lnx derivaatta

Esim.

Esim.

Derivoimissäännön yleistys

Esim.

Esim.

Käänteisfunktio x ja y vaihtaa paikkaa käänteisfunktio lasketaan ratkaisemalla yhtälöstä y = f(x) x-koordinaatti. kuvaajat ovat symmetrisiä suoran y=x suhteen. milloin käänteisfunktio on olemassa? silloin, kun f(x) on aidosti kasvava tai vähenevä

Esim. tutut funktiot ex ja lnx ovat toistensa käänteisfunktioita. S Esim. tutut funktiot ex ja lnx ovat toistensa käänteisfunktioita. S. 133 enemmän