Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto

Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus) Radioaktiivinen hajoaminen (puoliintumisaika  kerroin 0,50) Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen  potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi

Eksponenttifunktio 𝑓(𝑥)=𝑎⋅ 𝑘 𝑥 Kuvaa eksponenttimuotoista kasvua Kasvujaksojen määrä, esim aika Loppuarvo, kasvanut arvo 𝑓(𝑥)=𝑎⋅ 𝑘 𝑥 Alkuarvo Kasvukerroin

Potenssiin korottaminen Katso laskimestasi potenssiin korottaminen:

YLEINEN JUUREN OTTO x2 = 145 x5 = 309

Logaritmin käyttö: x eksponentissa lg "lyödään logaritmimoukarilla" "eksponentti x putoaa eteen" Laskimessa log

Hankalahko esimerkki Jaetaan lg V: x=0,106

Hankalampi eksponenttiyhtälö jaetaan ensin jaetaan potenssilla

Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu (kasvu 3 %  kerroin 1,03) Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus) Radioaktiivinen hajoaminen (puoliintumisaika  kerroin 0,50) Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen (20 % vähentyminen  kerroin 0,80)  potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi

NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) jaksojen määrä, aika jne a • kn = b alkuarvo loppuarvo kasvukerroin Ei x, suoralla laskulla b = a • kn Ajassa taakse: negative eksponent Kysytään loppuarvoa Kysytään alkuarvo 2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia Johtaa juurenottoon 3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten määrää jne (kysytään siis eksponenttia) x eksponenttina, johtaa logaritmiin

NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) jaksojen määrä, aika jne a • kn = b alkuarvo loppuarvo kasvukerroin suoralla laskulla b = a • kn 1a) Kysytään loppuarvoa Brutopian väkiluku oli vuonna 2005 peräti 73 miljoonaa ja Vuotuinen kasvu 3,1 %. Mikä on väestäennuste vuodelle 2015? Alussa 73 miljoonaa, kasvukerroin = 1,031, vuosia = 10 73 • 1,03110 milj = 99 miljoonaa.

1b) Ajassa taaksepäin  eksponenttiin miinus Brutopian väkiluku oli v 2005 73 miljoonaa, vuotuinen kasvu 3,1 %. Mikä oli väkiluku vuonna 2000 ? Alkuarvo= 73 (vuosi 2005) Vuodet = -5 kasvukerroin 1,031 73 • 1,031-5 milj = 63 miljoonaa.

NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) jaksojen määrä, aika jne a • kn = b alkuarvo loppuarvo kasvukerroin 2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia Johtaa juurenottoon Meksikon väkiluku kasvoi 10 vuodessa 73 miljoonasta 99 miljoonaan. Mikä on vuotuinen kasvuprosentti? kasvukerroin = x 73 • x10 = 99 Vastaus: 3,1 %

NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) jaksojen määrä, aika jne a • kn = b alkuarvo loppuarvo kasvukerroin 3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten paksuutta Johtaa logaritmiin Meksikon väkiluku kasvoi 73 miljoonasta 99 miljoonaa vuotuisen kasvun ollessa 3,1 %. Kuinka monta vuotta kului? 73 • 1,031x = 99

Milloin juurenottoa tarvitaan? Kun kysytään potenssin kantalukua tai kasvukerrointa tai korkoprosenttia Esim. Meksikon väkiluku väkiluku kasvoi 10 vuodessa 73 miljoonasta 100 miljoonaan. Kuinka suuri oli vuotuinen kasvuprosentti? vuosia 10 73 milj 100 milj vuotuinen kasvukerroin x 73 • x10 = 100 || :73 Vastaus: Vuotuinen kasvu on 3,2 %

Miloin logaritmia tarvitaan? Silloin, kun kysytään eksponenttia (aikaa, jaksojen määrää, kerrosten määrää) Kuinka monta vuotta kestää talletuksen arvon kaksinkertaistuminen, kun korkoporosentti on 3,6 % Ratk: Alussa a, lopussa 2a, kerroin k = 1,036 vuodet = x V: 20 vuotta

Pankkitalletus kasvoi kuudessa vuodessa 4500 eurosta 6000 euroon Pankkitalletus kasvoi kuudessa vuodessa 4500 eurosta 6000 euroon. Mikä oli tilin korko? Vuodessa pääoma x-kertaistuu kuudessa vuodessa x6-kertaistuu 4500 • x6 = 6000 Vastaus: Vuotuinen korko oli 4,9 %

Rikkipäästöjä halutaan alentaa 10 vuodessa 90 % Rikkipäästöjä halutaan alentaa 10 vuodessa 90 %. Mikä tulee asettaa vuotuiseksi vähentämisen tavoitteeksi? Jäljelle jää 10 % Alussa rikkipäästöt ovat a, siitä pois 90 % -90 % a 0,10 a 10 vuotta vuotuinen kerroin x Siis joka vuosi päästö on 0,794 kertaa edellisen vuoden päästö. Siis 79,4 % edellisestä a • x10 = 0,10a x10 = 0,10 Vuotuinen vähennys on 100 % - 79,4 % =20,6 % Vastaus: 21 % vähennys joka vuosi

Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika on 15 vuorokautta Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika on 15 vuorokautta. Kuinka monta % aineesta a) on jäljellä 6 kk kuluttua? b) hajoaa yhdessä vuorokaudessa? Jakso on 15 vrk, sinä aikana määrä puoliintuu, jakson kerroin = 0,50 a) 6 kuukaudessa on jaksoja 180 vrk / 15 vrk = 12 jaksoa Alussa a, lopussa a • 0,5012 = 0,000244a Jäljellä 0,024 % Aika 1 vrk, kuinka monta 15 vrk jaksoa siinä on ? Alussa a 1 vrk kuluttua jäljellä Hajosi 100 % – 95,48 % = 4,52 % Vastaus: 1 vrk:ssa hajosi 4,5 % Jäljellä 95,48 %