2.2.2. Monotoniset jonot Jono (a n ) on kasvava, jos  n : a n+1  a n aidosti kasvava, jos  n : a n+1 > a n aidosti vähenevä, jos  n : a n+1 < a n vähenevä,

Slides:



Advertisements
Samankaltaiset esitykset
Yleistä Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen
Advertisements

MB 3 Lineaarisia polynomifunktioita
ASK - Amplitude Shift Keying Timo Mynttinen1 ASK-Amplitude Shift Keying •Otetaan erikoistapauksena tilanne, jossa informaatiosignaalina s(t) on kantataajuinen.
Robust LQR Control for PWM Converters: An LMI Approach
5.1. Tason yhtälö a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
Diskreetti matematiikka salausmenetelmien matematiikkaa
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12
Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa.
Valitse seuraaviin vaihtoehtotehtäviin oikea vastaus…
Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle
KANNANVAIHTO?.
Rajoitetut jonot 1. Alhaalta rajoitettu jono
TMA.003 / L3 ( )1 3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio Olkoon A ja B ei-tyhjiä joukkoja. Tulojoukon A  B = {(x,y) | x  A, y  B} osajoukko on.
3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio
1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA
1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot
Diofantoksen yhtälö 10x + 4y = 36.
11. Kaksi uhkapelaajaa heittää vuorotellen noppaa
Pienin ja suurin arvo suljetulla välillä
Raja-arvon määritelmä
Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen.
Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen.
Funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot
TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op ALU.
Jatkuvan funktion nollakohdat
Ketjusääntö Ketjusääntö z = g (y) y = f (x) x z x+x y y+y z+z
Anyonit? Suurenergiafysiikkaako? Suunnitelma Kvanttistatistiikka Anyonien ominaisuuksia Kvantti-Hallin ilmiö & CS kenttäteoriaa.
3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Neliöjuurifunktion derivaatta (todistus: ks. kirja, s. 39)
Langattomien laitteiden matematiikka 1
1. Usean muuttujan funktiot
Vaihemodulaatio Vaihemodulaatio ja taajuusmodulaatio muistuttavat suuresti toisiaan. Jos moduloidaan kantoaallon vaihekulmaa, niin samalla tullaan moduloiduksi.
Diskreetti matematiikka
3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ
PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)
1.4. Integroimismenetelmiä
1. INTEGRAALIFUNKTIO.
Kymmenkantainen logaritmi
Deskriptiivinen ja normatiivinen monikulttuurisuus Yliopistonlehtori Eero Salmenkivi Opettajankoulutuslaitos Käyttäytymistieteellinen tiedekunta.
Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme1 Maplen peruskäyttö 2. Derivaatta ja integraali.
Virtuaalinen analyysin peruskurssi
7. Määritä sellaisen ympyräsektorin keskuskulma, jonka pinta-ala on 1 ja piiri mahdollisimman lyhyt. Anna tulos 0,1 asteen tarkkuudella. Keskuskulma =
4.1. Funktion ääriarvot Funktion kasvu ja väheneminen
Virtuaalinen analyysin peruskurssi
Juurifunktio potenssifunktion käänteisfunktiona
Funktio.
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Jaksolliset radat ja rajajoukot.
Neperin luku e ja funktio y = ex
Funktion jatkuva kohdassa x = x0 joss
Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta
Koska toispuoliset raja-arvot yhtä suuria, niin lim f(x) = 1
2. Lukujonot -äärellinen tai ääretön 2.1. Lukujonon käsiteLuettelona: a 1, a 2, a 3,…,a n,…, jolloin a n on jonon n:s termi Lukujonon merkintätapoja Jono.
Liikkeen fysiikkaa.
1.3. Laskukaavat 1. sin (x + y) = sin x · cos y + cos x · siny
TANGENTTI Suora, joka sivuaa käyrää.
Mitä osattava (minimivaatimus)?. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen –Huom! Määrittelyehdot Peruslaskutoimitukset –polynomien erityisesti binomin.
Uusi näkökulma TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1 Syksy 2005.
Kertymäfunktio Määritelmä Olkoon funktio f jatkuva ja x > a
Y56 Luku 21 Yrityksen teoria: kustannuskäyrät
Funktion ominaisuuksia
TIES341 Funktio-ohjelmointi 2 Kevät 2006
Vielä laskentoa: kertausta ja täsmennystä
k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
2. Lukujonot 2.1. Lukujonon käsite -äärellinen tai ääretön Luettelona:
Kielen- ja tekstinhuoltoa
Laiska laskenta, korekursio ja äärettömyys
KYNNYSILMIÖ kulmamodulaatioilla
KANTATAAJUINEN BINÄÄRINEN SIIRTOJÄRJESTELMÄ AWGN-KANAVASSA
Kertausta FUNKTIOISTA MAB5-kurssin jälkeen (Beta 2.0)
Esityksen transkriptio:

Monotoniset jonot Jono (a n ) on kasvava, jos  n : a n+1  a n aidosti kasvava, jos  n : a n+1 > a n aidosti vähenevä, jos  n : a n+1 < a n vähenevä, jos  n : a n+1  a n Jono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Jono on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

Monotonisuuden tutkiminen 1) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien erotusta Sievennä lauseketta a n+1 - a n. Jos erotus on positiivinen n:n arvosta riippumatta, niin jono on aidosti kasvava. 2) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien suhdetta Sievennä lauseketta a n+1 : a n. Jos se on > 1 n:n arvosta riippumatta ja termit positiivisia, niin jono on aiodsti kasvava. 3) Monotonisuuden laatu tutkimalla jonoa vastaavaa jatkuvaa funktioa Korvaa lukujonon termin lausekkeessa n x:llä ja tutki näin saatua jatkuvan funktion monotonisuutta derivaatan avulla. Jos funktion derivaatta on > 0 kaikilla x:illä, niin se on aidosti kasvava kaikilla kokonaislukuarvoillakin.

E.1. Osoita, että lukujono a n = on kasvava. a n+1 – a n > 0 ? joten a n+1 > a n. Lukujono on (aidosti) kasvava TAPA1

TAPA2 a n+1 : a n > 1 ? Siis a n+1 > a n. Joten lukujono on (aidosti) kasvava.

f(x) = f’(x) = Funktio on derivoituva, kun x ≥ 1 Funktio on (aidosti) kasvava, kun x ≥ 1. Siis f(n+1) > f(n) eli a n+1 > a n  n  Z + Lukujono on (aidosti) kasvava TAPA3