Monotoniset jonot Jono (a n ) on kasvava, jos n : a n+1 a n aidosti kasvava, jos n : a n+1 > a n aidosti vähenevä, jos n : a n+1 < a n vähenevä, jos n : a n+1 a n Jono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Jono on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.
Monotonisuuden tutkiminen 1) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien erotusta Sievennä lauseketta a n+1 - a n. Jos erotus on positiivinen n:n arvosta riippumatta, niin jono on aidosti kasvava. 2) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien suhdetta Sievennä lauseketta a n+1 : a n. Jos se on > 1 n:n arvosta riippumatta ja termit positiivisia, niin jono on aiodsti kasvava. 3) Monotonisuuden laatu tutkimalla jonoa vastaavaa jatkuvaa funktioa Korvaa lukujonon termin lausekkeessa n x:llä ja tutki näin saatua jatkuvan funktion monotonisuutta derivaatan avulla. Jos funktion derivaatta on > 0 kaikilla x:illä, niin se on aidosti kasvava kaikilla kokonaislukuarvoillakin.
E.1. Osoita, että lukujono a n = on kasvava. a n+1 – a n > 0 ? joten a n+1 > a n. Lukujono on (aidosti) kasvava TAPA1
TAPA2 a n+1 : a n > 1 ? Siis a n+1 > a n. Joten lukujono on (aidosti) kasvava.
f(x) = f’(x) = Funktio on derivoituva, kun x ≥ 1 Funktio on (aidosti) kasvava, kun x ≥ 1. Siis f(n+1) > f(n) eli a n+1 > a n n Z + Lukujono on (aidosti) kasvava TAPA3