LUMA-päivät: Sattuman vaikutus pienissä populaatioissa: geneettinen ajautuminen Binomijakauman sovelluksia lukiolaisille 20.4.2007 Outi Savolainen ja Timo Knürr Outi.savolainen@ouli.fi, timo.knurr@oulu.fi Biologian laitos ja Matemaattisten tieteiden laitos/tilastotiede, Oulun yliopisto

Aiheita Johdanto: perinnöllisyystiedettä (OS) Todennäköisyyslaskentaa – lukiolaisille (TK) Todennäköisyyslaskennan taustaa – opettajille (TK) Demonstraatio ja tulkintaa (TK ja OS) Loppupäätelmiä (OS)

Genetiikan perusteet Perinnöllinen aines koostuu DNA:sta (deoksiribonukleiinihappo), joissa esiintyy neljä eri emästä, A, T, C, G. Tyypillinen geeni on vähintään 1000 emäksen mittainen Ihmisen perimässä (genomissa) on noin 3 x 109 emästä, noin 40 000 geeniä Geenit sijaitsevat kromosomeissa Geenien vaihtoehtoisia muotoja (esim. veriryhmiä A ja B aiheuttavat ) kutsutaan alleeleiksi

Populaatiogeneettisiä malleja Ääretön populaatiokoko – sattumalla ei vaikutusta Äärellinen (finite) populaatio N yksilöä, Kutakin geeniä 2N kpl, Alleelia A1 frk p Alleelia A2 fr q p+q=1 Ääretön määrä suku- puolisoluja, esim. siitepö lyä, A1-p, A2 q Otanta- muodostetaan N yksilöä ottamalla 2N sukupuolisolua– satunnainen pariutuminen

Geneettinen ajautuminen: esimerkiksi metsän pirstoutuminen voi johtaa monien eliöiden populaatioiden pienenemiseen Ääretön määrä sukupuolisoluja eli gameetteja, kussakin Populaatiossa vähän yksilöitä N=10

Seuraukset: Tarkastellaan seuraavia kysymyksiä 1) Alleelifrekvenssin vaihtelu alapopulaatioissa 2) Perinnöllisen muuntelun (2pq) väheneminen alapopulaatioissa

Sattuman merkitys pienissä populaatioissa:) Suomen sisällä asutus levisi 1500-luvulla pieniin populaatioihin ympäri maata (katso esim. T. Varilo, Väitöskirja. KTL). Suomalainen tautiperintö syntyi tässä yhteydessä (ja aikaisemmin) tapahtuneen alleelien satunnaisen rikastumisen seurauksena (Kuva vasemmalla teoksesta Aula ym. 1998 Perinnöllisyys- lääketiede).

Binomijakauman BIN(2N,p) pistetodennäköisyysfunktio Esimerkki: BIN(10,0.3) Binomikerroin:

Alleelifrekvenssi seuraavassa sukupolvessa Alleelifrekvenssi p0 sukupolvessa t=0 Jos seuraavassa sukupolvessa (t=1) alleelifrekvenssi on p1 on otettu i=2Np1 A1-alleelia jakaumasta BIN(2N,p0) Yleisesti: Siirtymätodennäköisyydet sukupolvesta seuraavaan ovat

Markovin ketju Siirtymätödennäköisyydet sukupolvesta t sukupolveen t+1 eivät riipu lainkaan siitä, minkälaiset alleelifrekvenssit oli sukupolvissa 0,1,…, t-1 Tulevaisuus riippuu vain nykyhetkestä, ei menneisyydestä Ketju ”unohtaa” historiansa

Alleelin kohtalo (1) Ollaan kiinnostuneita alleelifrekvenssin tulevaisuudesta/kehityksestä, eli mikä on kokonais- todennäköisyyden laki ehdolliset tdn:t Markovin ominaisuus

Alleelin kohtalo (2) On laskettavissa siirtymätodennäköisyyksien avulla, mutta analyyttisesti hankalaa. Muut ratkaisut: approksimaatio diffuusioprosessin kautta simuloimalla

Diffuusioprosessin idea Alleelifrekvenssit eri populaatioissa hajaantuvat ajan myötä kuten hiukkaset Alleelifrekvenssit muuttuvat sulavasti (ei portaittain) ja jatkuvasti ajan myötä Alleelifrekvenssin kehitys voidaan kuvata jatkuvien satunnaismuuttajien prosessina (continous in space and time)

Diffuusioprosessin esitys Hetkellä t alleelifrekvenssin pt jakaumalla on tiheysfunktio φ(p0,x;t) Viiveetön keskiarvo: Viiveetön varianssi: Kolmogorov backward equation (diff-yhtälö):

Kimuran ratkaisu (1955) p0=0.5 p0=0.1

Tietokonesimulaatiot Windows-ohjelma GenAjo Ohjelmoitu C++-kielellä, graafinen ympäristö wxWidgets-paketilla Imuroitavissa osoitteesta: http://cc.oulu.fi/~genetwww/plants/ (kohdassa Software)

Demot I Parametrit: 2N=gameettien lukumäärä p0 =alkufrekvenssi T =Sukupolvet B = Toistot 1. 2N=20, p0=0.5, T=1, B=5 Huomaa binomijakauma kerran 2. Kuten 1., mutta T=20 Vertaa eri toistojen (alapopulaatioiden) kohtaloa 3. Kuten 2., mutta B=1000 Huomaa loppufrekvenssien jakauma 4. Kuten 3., mutta p0=0.25 Huomaa alkufrekvenssin vaikutus alleelin kohtaloon

Demot II Parametrit: 2N=gameettien lukumäärä p0 =alkufrekvenssi T =Sukupolvet B = Toistot 5. Kuten 4., mutta (a) 2N=10 (b) 2N=100 (c) 2N=1000 Vertaa populaatiokoon vaikutusta 6. N=50, (a) T=10 (b) T=50 (c) T=100 Vertaa sukupolvien vaikutusta 7. (a) 2N=100, T=10 (b) 2N=500, T=50 (c) 2N=1000, T=100 Vertaa sukupolvien määrän ja populaatiokoon vaikutusta

Alleelifrekvenssien muutos

Geneettisen ajautumisen seurauksia H- niiden yksilöiden osuus, joilla äidiltä ja isältä saatu alleeli ovat erilaiset

Tarkastelumme rajoituksia Mallimme koski geenejä joilla ei ole vaikutusta elinkelpoisuuteen tai lisääntymiskelpoisuuteen Myös mutaatio ja geenivirta jätettiin huomiotta Hyvin pienissä populaatioissa (suhteessa luonnonvalinnan voimakkuuteen) kuitenkin sattumalla on aina suuri vaikutus

Satunnainen pariutuminen ja sukulaisten pariutuminen Myös sukulaisten väliset avioliitot voivat johtaa harvinaisten väistyvien tautien ilmenemiseen väestössä. Pieni populaatiokoko sinänsä riittää myös aiheuttamaan sen että yksilöt saavat kummaltakin vanhemmaltaan tautialleelin, tähän perustuvat esimerkiksi suomalaisten tautirikastumat